Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 30.9.2014 (13:35)

  Rozumiem, że jest to całka z 1 / (5+5x^2),, tzn. całe 5 + 5x^2 jest w mianowniku?
  Przede wszystkim wyciągamy 1/5 przed całkę i mamy
  
  \frac{1}{5}\int\frac{1}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{5}\,\mbox{arctg}\,x + C
  
  To jest jedna z tych "elementarnych" całek, które trzeba albo pamiętać, albo spisać na ściądze. Zróżniczkujemy funkcję arctg. Zauważ, że
  
  Jeżeli y(x) = arctg(x) to x(y) = tg(y) [ funkcja odwrotna ].
  
  Wobec tego, z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:
  
  (\mbox{arctg}\,x)' = \frac{1}{(\mbox{tg}\,y)'}
  
  Natomiast pochodna tangensa to:
  
  (\mbox{tg}\,y)' = \left(\frac{\sin y}{\cos y} \right )'=\frac{\cos y\cdot \cos y - \sin y\cdot (-\sin y)}{\cos^2 y}=1 + \mbox{tg}^2 y
  
  Wobec tego:
  
  (\mbox{arctg}\,x)' = \frac{1}{1+\mbox{tg}^2 y}=\frac{1}{1+x^2}
  
  Są jeszcze dwie takie całki:
  całka z 1 / pierwiastek ( 1 - x^2) daje arcsin x
  całka z 1 / pierwiastek ( 1 + x^2) daje arcsin hiperboliczny x
  Natomiast całkę z 1 / (1 - x^2) po prostu rozkładamy na ułamki proste.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie