Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 21.4.2014 (08:56)

  Aby pierwiastki miały jednakowe znaki ich iloczyn musi być dodatni
  co oznacza (ze wzoru Viete'a), że:
  
  4\sin^2\alpha - 1 = (2\sin\alpha - 1)(2\sin\alpha + 1) > 0
  
  Aby równanie miało dwa różne pierwiastki musi być \Delta > 0
  
  \left(\sqrt{2}\right)^2 - 4(4sin^2\alpha -1)= 2 - 16\sin^2\alpha + 4 = 2(3 - 8\sin^2\alpha) > 0
  
  Załącznik pokazuje przebieg obu zależności
  (czerwona linia - dodatniość pierwiastków, zielona istnienie różnych pierwiastków).
  Jak widać istnieją cztery przedziały w których spełnione są obie nierówności.
  
  Przecięcia czerwonej linii z osią poziomą łatwo znaleźć bo w tych punktach
  sin(alfa) = 1/2 lub sin(alfa) = - 1/2 czyli są to kąty:
  
  \frac{1}{6}\pi\,; \qquad \frac{5}{6}\pi\,; \qquad\frac{7}{6}\pi\,; \qquad\frac{11}{6}\pi\,;
  
  Zielona linia jest nieprzyjemna bp punkty przecięcia spełniają równanie:
  
  \sin^2\alpha = \frac{3}{8}
  
  co nie odpowiada sensownym kątom. Oznaczmy:
  
  \alpha_0 = \arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{8}}\right)\,\approx\,0{,}659
  
  Ponieważ \pi/6 \approx\,0{,}524 to z wykresu odczytamy następujące przedziały:
  
  \left(\frac{\pi}{6}\,;\alpha_0\right) \cup \left(\pi-\alpha_0\,;\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6}\,;\pi+\alpha_0\right) \cup \left(2\pi-\alpha_0\,;\frac{11\pi}{6}\right)
  
  Rozwiązaniem jest suma tych 4 przedziałów.

  Załączniki

  • wykresy.jpg (9 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie