Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 23.3.2014 (22:00)

  Patrz rysunek w załączniku.
  Po lewej stronie jest pokazany ostrosłup z zadania.
  Podstawa jest trójkątem równobocznym.
  Robimy przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną CED prostopadłą do podstawy
  przechodzącą przez środek podstawy.
  Zawiera ona wysokość ostrosłupa DO i kąt CED = 60 stopni.
  To jest ten kąt pod którym ściana boczna jest nachylona do podstawy.
  
  Po prawej stronie pokazany jest tylko trójkąt CED (przekrój ostrosłupa).
  Zielony okrąg to przekrój (przez środek) kuli wpisanej w ostrosłup.
  Jeśli wyznaczymy promień tej kuli będziemy mieli jej powierzchnię.
  
  Szukany promień "r" można znaleźć ze wzoru:
  
  P = (1/2) p * r ; gdzie:
  P - pole trójkąta
  p - obwód trójkąta
  r - promień okręgu wpisanego.
  
  Musimy znaleźć pole i obwód trójkąta CED.
  Potrzebne będą długości: CE, DE, CD i OD.
  Zaczynamy od odcinka CE. Jest to (patrz rysunek po lewej stronie)
  wysokość podstawy ostrosłupa (będącej trójkątem równobocznym). Wobec tego:
  
  |CE| = a\frac{\sqrt{3}}{2}
  
  Jednocześnie odcinek CO jest środkową podstawy i punkt O dzieli
  środkową w stosunku 2:1, czyli:
  
  |CO| = \frac{2}{3}|CE| = a\frac{\sqrt{3}}{3} \qquad\qquad\mbox{oraz}\qquad\qquad |OE| = a\frac{\sqrt{3}}{6}
  
  Ponieważ kąt OED = 60 stopni to
  
  |DE| = \frac{|OE|}{\sin(60)} = 2|OE| = a\frac{\sqrt{3}}{3}
  
  Z tego samego powodu:
  
  |OD| = |OE|\,\mbox{tg(60)}= |OE|\,\sqrt{3} =\frac{1}{2}a
  
  Jeszcze zostaje CD. Z tw. Pitagorasa w trójkącie COD:
  
  |CD| = \sqrt{|CO|^2 + |OD|^2} = \sqrt{\left(a\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = a\,\sqrt{\frac{7}{12}}
  
  Pole trójkąta CED liczone jako podstawa * wysokość / 2 wynosi:
  
  P = \frac{1}{2}\cdot a\,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2} = a^2\,\frac{\sqrt{3}}{4}
  
  Pole trójkąta CED liczone jako połowa obwodu * promień okręgu wpisanego r to:
  
  P = \frac{r}{2}\left(a\,\frac{\sqrt{3}}{2} + a\,\frac{\sqrt{3}}{3} + a\,\sqrt{\frac{7}{12}}\right)
  
  Porównujemy oba wyrażenia na pole P i obliczamy promień r wpisanej kuli:
  
  r = 2a\,\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{\frac{7}{12}}}= a\,\frac{3}{5+\sqrt{7}}
  
  (do uproszczenia tego strasznego wyrażenia użyłem programu Maxima)
  
  Wreszcie pole kuli wpisanej:
  
  S = 4\pi r^2 = 4\pi\,\left(a\,\frac{3}{5+\sqrt{7}}\right)^2 = \frac{\pi}{9}\,a^2\,\left(\frac{3}{5-\sqrt{7}}\right)^2
  
  Zaznaczam, że bez trudu mogłem się pomylić w obliczeniach, ale metoda jest dobra.
  
  Pozdro - Antek

  Załączniki

  • ostroslup_kula.pdf (28 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie