Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 24.1.2014 (08:42)

  1.
  Zdarzenie elementarne to wylosowanie 2 kul z 9.
  Kolejność jest nieistotna, losowanie jest bez powtórzeń, więc ilość zdarzeń elementarnych to ilość kombinacji 2 z 9
  
  m(Omega) = 9! / (2! * 7!) = 9 * 8 / 2 = 36
  
  We wszystkich przypadkach obliczamy ilość zdarzeń sprzyjających jako iloczyn ilości kombinacji "n" kul białych z 4 i "k" kul czarnych z 5. W symbolicznym zapisie jest to:
  {4 \choose n}\cdot {5 \choose k}
  
  a)
  n = 2 ; k = 0
  Ilość zdarzeń sprzyjających (drugi symbol Newtona, 5 nad 0, jest = 1)
  
  m(A) = 4! / (2! * 2!) = 4 * 3 / 2 = 6
  
  Prawdopodobieństwo: p(A) = m(A) / m(Omega) = 6 / 36 = 1 / 6
  
  b)
  n = 1 ; k = 1
  Ilość zdarzeń sprzyjających:
  
  m(B) = [ 4! / (1! * 3!) ] * [ 5! / (1! * 4!) ] = 4 * 5 = 20
  
  Prawdopodobieństwo: p(A) = m(A) / m(Omega) = 20 / 36 = 5 / 9
  
  c)
  Jest to suma wykluczających się zdarzeń A i B więc:
  
  p(C) = p(A) + p(B) = 1/6 + 5/9 = 13 / 18
  
  d)
  Zauważ, że mogą być następujące, wykluczające się, przypadki:
  -- 2 białe
  -- biała i czarna
  -- dwie czarne
  Przypadek D to suma dwóch ostatnich powyżej, więc wystarczy od jedynki
  odjąć prawdopodobieństwo 2 białych.
  
  p(D) = 1 - p(A) = 1 - 1/6 = 5 / 6
  
  =================================
  
  2.
  Zdarzenie elementarne to wylosowanie 6 liczb z 49.
  Ilość tych zdarzeń to ilość kombinacji 6 z 49, wynosi ona:
  
  m(Omega) = 49! / (6! * 43!) = 13983816
  
  [ metoda liczenia: 49*48*47*46*45*44 / 6! ]
  
  We wszystkich przypadkach losujemy "n" liczb z 6 wygrywających
  i "k" liczb z 49 - 6 = 43 przegrywających czyli ilość zdarzeń sprzyjających to:
  
  {6 \choose n}\cdot {43 \choose k}
  
  a)
  n = 6; k = 0 [ drugi symbol Newtona, 43 nad 0, daje 1 ]
  
  m(A) = 6! / (6! * 0!) = 1 [ tylko jedna wygrana, 0! = 1 z definicji ]
  
  p(A) = m(A) / m(Omega) = 1 / 13983816 = około 0,00000007
  (nieco mniej niż raz na 10 milionów)
  
  b)
  n = 5; k = 1 [ Zauważ, że jedna liczba może być dowolną z 43
  
  m(B) = [ 6! / (5! * 1!) ] * [ 43! / (42! * 1!) ] = 5 * 43 = 215
  
  p(B) = m(B) / m(Omega) = 215 / 13983816 = około 0,000015
  (nieco więcej niż raz na 100 tysięcy)
  
  c)
  n = 4; k = 2 [ Zauważ, że dwie liczby mogą być dowolne z 43
  
  m(C) = [ 6! / (4! * 2!) ] * [ 43! / (41! * 2!) ] = 15 * 903 = 13545
  
  p(C) = m(B) / m(Omega) = 13545 / 13983816 = około 0,00097
  (prawie raz na 1000)
  
  d)
  n = 3; k = 3 [ Zauważ, że trzy liczby mogą być dowolne z 43
  
  m(D) = [ 6! / (3! * 3!) ] * [ 43! / (40! * 3!) ] = 20 * 12341 = 246820
  
  p(D) = m(B) / m(Omega) = 246820 / 13983816 = około 0,018
  (prawie raz na 20 losowań, ale i tak to się nie opłaca, w totka przegrywa się - długo grając - z samych założeń tej gry, która nie może przynosić strat. Podobnie jak ruletka.
  =================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie