Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 21.1.2014 (20:40)

  f(x) = x^2\,(x+5)^2
  
  Miejsca zerowe to x1 = -5 oraz x2 = 0.
  Wykres w załączniku, zauważ, że skale na osiach X i Y są różne.
  
  Pierwsza pochodna (spodziewamy się, z wykresu, trzech ekstremów)
  
  f'(x) = 2x\,(x+5)^2 + 2x^2/,(x + 5) = 4x^3 + 30x^2 + 50x
  
  Można to wyrażenie przedstawić tak, wyciągając 2x przed nawias:
  
  f'(x) = 2x(2x^2 + 15x + 25) = 2x(x+5)(2x+5)
  
  Gdy x < -5 wszystkie nawiasy są ujemne i funkcja maleje
  Gdy -5 < x < -5/2 mamy dodatnią pochodną i funkcja rośnie
  Gdy -5/2 < x < 0 mamy ujemną pochodną i funkcja maleje
  Gdy x > 0 wszystkie nawiasy są dodatnie i funkcja rośnie
  
  Wobec tego w x1 = -5 oraz x2 = 0 są minima (także miejsca zerowe)
  a w x3 = -5/2 jest maksimum o wartości: f(5/2) = 625 / 16 = 39,0625.
  
  Druga pochodna:
  
  f''(x) = 12x^2 + 60x +50
  
  Przyrównanie f ' ' (x) = 0 daje niemiłe pierwiastki:
  
  x_1 = -\frac{15 +\sqrt{3}}{6}\,\approx\,-3{,}94 \qquad\qquad\mbox{oraz}\qquad\qquad x_2 = \frac{-15 +\sqrt{3}}{6}\,\approx\,-1{,}06
  
  Druga pochodna jest ujemna w przedziale (x1; x2)
  Druga pochodna jest dodatnia w przedziale (-oo; x1) u (x2; +oo)
  W punktach x1 i x2 są punkty przegięcia.
  
  Naprawdę nie pamiętam, czy funkcja jest wklęsła gdy f ' ' (x) < 0, czy odwrotnie... Zresztą słyszałem, że ludzie się o to spierają i są różne zdania.
  Wiki mówi: gdy druga pochodna jest ujemna czyli w przedziale (x1; x2)
  

  Załączniki

  • wykres.pdf (21 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie