Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 30.11.2013 (07:31)

  Uwagi do wszystkich przykładów:
  - czytaj ^2 jako "do kwadratu". Wprawdzie ktoś napisał, że sam znaczek ^ u nich na informatyce znaczy "do kwadratu", ale jest to okropnie myląca umowa, bo co wtedy znaczy ^3 ? Do kwadratu i do sześcianu?
  Po prostu ^ znaczy "do potęgi", potem jest numer potęgi, czyli ^2 to do kwadratu.
  
  - Przykłady w poziomie są prawie identyczne, ich skala trudności rośnie
  
  - Po lewej stronie w pierwszej kolumnie są przykłady mające minus przy x^2
  Po prawej - odwrotnie. Wykresami wszystkich tych funkcji ją parabole, ale
  ISTOTNE: Jeżeli przy x^2 jest znak plus to parabola ma kształt litery "U",
  ale jeśli przy x^2 jest znak minus to wykres ma kształt odwróconego "U"
  czyli ma maksimum ( a jak przy x^2 jest + to ma minimum)
  
  Badając funkcję określamy:
  - dziedzinę (oznaczenie: D)
  - miejsca zerowe (oznaczenie: x1, x2)
  - zbiór wartości (oznaczenie: ZW, czyli jakie są możliwe "y"
  - położenie - w tym zadaniu - wierzchołka paraboli
  - kiedy funkcja maleje, kiedy rośnie (zakresy na osi x)
  - są też inne cechy funkcji, ale tutaj niepotrzebne.
  
  Jeszcze nazwy. Postacie funkcji kwadratowej:
  f(x) = a (x - B)^2 + C - kanoniczna [ duże B i C specjalnie, nie myl z b, c poniżej ]
  Punkt (B, C) jest wierzchołkiem paraboli
  f(x) = a(x - x1)(x - x2) - iloczynowa, od razu widać miejsca zerowe: x1, x2 (BEZ minusa)
  f(x) = ax^2 + bx + c - ogólna
  Z każdej z tych postaci można przejść do innej (z tym, że do iloczynowej jedynie wtedy, gdy równanie ax^2 + bx + c = 0 ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych).
  
  Dziedziną wszystkich funkcji z zadania jest zbiór liczb rzeczywistych, D = R
  =================================================
  
  Dwa przykłady w pierwszym wierszu.
  Oba są już w postaci "kanonicznej", gdzie B = 0 we wzorze jak wyżej.
  Zgodnie z tym, co napisałem wyżej:
  
  Dla funkcji w pierwszym wierszu po lewej, y = -(1/2) x^2 + 3
  
  - wykres: Parabola w kształcie odwróconego "U".
  Rysujemy parabolę: y = (1/2)x^2 - to na pewno umiesz,
  odbijamy ją względem osi X jak w lustrze (teraz cała jest pod osią X)
  i przesuwamy w pionie o 3 w górę.
  - funkcja jest rosnąca dla x w przedziale (-oo ; 0)
  - funkcja jest malejąca dla x w przedziale (0 ; +oo)
  - wierzchołek (ekstremum, maksimum) jest w punkcie: (0, 3)
  - miejsca zerowe: rozwiązujemy równanie:
  0 = -(1/2) x^2 + 3 ; stąd:
  (1/2) x^2 = 3 ; razy 2
  x^2 = 6 ; pierwiastek
  x1 = - pierwiastek(6) ; x2 = pierwiastek(6)
  
  Dla funkcji w pierwszym wierszu po prawej, y = 3x^2 - 1
  
  - wykres: Parabola w kształcie "U".
  Rysujemy parabolę: y = 3x^2 - to na pewno umiesz,
  i przesuwamy w pionie o 1 w dół
  - funkcja jest malejąca dla x w przedziale (-oo ; 0)
  - funkcja jest rosnąca dla x w przedziale (0 ; +oo)
  - wierzchołek (ekstremum, maksimum) jest w punkcie: (0, -1)
  - miejsca zerowe: rozwiązujemy równanie:
  0 = 3x^2 -1 ; stąd:
  3x^2 = 1 ; dzielimy przez 3
  x^2 = 1/3 ; pierwiastek
  x1 = - pierwiastek(1/3) ; x2 = pierwiastek(1/3)
  =========================================================
  
  Przykłady w drugim wierszu.
  To jest prawie "postać ogólna" ale brakuje "wyrazu wolnego, c"
  I z tego skorzystamy, jest to specjalny przypadek
  
  Po lewej: y = -4x^2 - 2x ; wyciągamy "-2x" przed nawias: y = -2x(2x + 1)
  Od razu mamy miejsca zerowe: x1 = 0; x2 = -1/2
  (bo w równaniu: -2x(2x + 1) = 0 każdy z czynników, albo x, albo 2x+1
  może być zerem)
  Przy x^2 jest znak minus więc wykres jest "odwróconym U".
  Teraz wierzchołek. W podręczniku są wzory na położenie wierzchołka,
  ale pokażę Ci inny sposób - jeśli istnieją rozwiązania x1, x2 to:
  współrzędna X wierzchołka jest średnią z x1, x2, czyli (0 - 1/2) / 2 = - 1/4
  a współrzędną y dostajemy podstawiając x do wzoru funkcji:
  f(-1/4) = -4 * (-1/4)^2 - 2 * (-1/4) = 1 / 4
  - Współrzędne wierzchołka to: (-1/2 ; 1/4)
  - funkcja jest rosnąca dla x w przedziale (-oo ; -1/2)
  - funkcja jest malejąca dla x w przedziale (-1/2 ; +oo)
  
  Po prawej: y = x^2 - 2x
  Podobnie, po wyciągnięciu x przed nawias: y = x(x -2)
  Od razu mamy miejsca zerowe: x1 = 0; x2 = 2
  Wierzchołek: wsp. x = 1 (średnia z 0 i 2)
  wsp. y = f(1) = 1^2 - 2 * 1 = -1
  Wierzchołek: (1 ; -1)
  Wykres ma kształt "U" bo jest + przy x^2
  - funkcja jest malejąca dla x w przedziale (-oo ; 1)
  - funkcja jest rosnąca dla x w przedziale (1 ; +oo)
  =========================================================
  
  Trzeci wiersz:
  Znów przypadki "szczególne", mianowicie są to "pełne kwadraty"
  Po lewej:
  y = -x^2 + 2x - 1 = - (x^2 -2x + 1) = - (x - 1)^2
  Podwójny pierwiastek x1 = x2 = 1
  Wykres - odwrócone "U".
  Wierzchołek: (1, 0)
  - funkcja jest rosnąca dla x w przedziale (-oo ; 1)
  - funkcja jest malejąca dla x w przedziale (1 ; +oo)
  
  Po prawej: y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
  Podwójny pierwiastek x1 = x2 = 1
  reszta odwrotnie, niż poprzednio.
  =========================================================
  
  Czwarty wiersz - to są "pełne" równania kwadratowe.
  Rozwiązania:
  po lewej: x1 = 1, x2 = 2, wykres jest odwrotnym "U"
  po prawej: x1 =1/5, x2 = 1, wykres jest jak "U".
  Resztę spróbuj sam, pisz na priv w razie pytań, ten tekst już jest za długi
  
  Pozdro - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie