Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 21.11.2013 (21:29)

  Wprawdzie to zadanie ma już rozwiązanie, ale spróbuję podejść do niego inaczej, wykorzystując informację - specyficzną dla TEGO - nie innego -zadania, że mamy dane sumy pierwszych 10 wyrazów i pierwszych 5 wyrazów nieparzystych.
  
  Poniżej przez "r" oznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego, czyli:
  a2 =a1 + r ; a4 = a3 + r ; i tak dalej aż do: a10 =a9 + r.
  
  Sumę pierwszych 10 wyrazów (znaną, równą 120) czyli:
  S10 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = 120
  
  można zapisać jak poniżej, rozdzielając parzyste i nieparzyste wyrazy:
  
  a1 + a3 + a5 + a7 + a9 PLUS <---------- tą sumę znamy, jest równa 65
  a2 + a4 + a6 + a8 + a10
  
  Zauważ, że każdy wyraz z dolnego wiersza to wyraz z wiersza górnego plus r:
  
  a1 + a3 + a5 + a7 + a9 PLUS
  (a1+r) + (a3+r) + a5+r) + (a7+r) + (a9+r) czyli suma wierszy =
  = 2 * (a1 + a3 + a5 + a7 + a9) + 5r.
  
  Czyli: Suma a1 do a10 = 2 razy suma wyrazów nieparzystych + 5r ; więc:
  
  120 = 2 * 65 + 5r ; stąd : 120 = 130 + 5r ; stąd: r = -10 / 5 = -2
  
  Pozostaje obliczyć a1. Nadal bez ogólnych wzorów dodajemy nieparzyste wyrazy:
  a1 + (a1 + 2r) + (a1 + 4r) + (a1 + 6r) + (a1 + 8r) = 5a1 + 20r = 65.
  
  Ponieważ znamy r = -2 więc:
  5a1 + 20 * (-2) = 65 ; stąd 5a1 = 105 ; czyli a1 = 21
  
  Wyraz ogólny ciągu jest określony wzorem:
  an = 21 - 2(n-1) lub jak wolisz: an = 23 - 2n, do wyboru
  (zależnie od formy, którą preferuj nauczyciel)
  
  Ciąg to: 21, 19, 17, 15, ....5, 3.... i dalej wyrazy ciągu to: 1, -1, -3, ...
  
  --------------------------------------------------------------
  Sprawdzenie:
  21 + 19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 = 120
  21 + 17 + 13 + 9 + 5 = 65
  -----------------------------------------------------------------
  
  Druga część zadania: Ciąg wypisany jest powyżej, a7 = 9 ; a10 = 3
  Ciąg geometryczny ma mieć postać:
  
  9, 3, x
  
  Ponieważ dwa sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego są równe
  kwadratowi wyrazu pomiędzy nimi, więc 9x = 3*3 ; stąd x = 1.
  
  Ciąg geometryczny to: 9, 3, 1
  
  Z jawnej postaci ciągu arytmetycznego widać, że wyrazem o wartości 1 jest a11.
  Odpowiedź: n = 11.
  -------------------------------------------------------------------
  
  Zdaję sobie sprawę, że to rozwiązanie nie uczy "ogólnego" podejścia
  do zadań z ciągów, ale chciałem się pobawić, a poza tym
  takie "zauważanki" mogą być wyżej punktowane przez nauczyciela.
  Antek
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    daxus14141414 22.11.2013 (00:42)

    Trochę więcej zabawy z zadaniem, ale wiele można podpatrzeć, że tak to nazwę :)