Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.11.2013 (17:46)

  Rozumiem, że chodzi o miary kątów wewnętrznych czworokąta, czyli o kąty:
  DAB, ABC, BCD i CDA ?
  Jeśli tak, to zobacz rysunek w załączniku.
  
  Punkt O jest środkiem okręgu.
  Punkty A, B, C, D tworzą wspomniany w zadaniu czworokąt (rysunek nie jest za dokładny). Ponieważ długości łuków mają być w stosunku 3 : 6 : 4 : 2 to w takim samym stosunku są kąty:
  AOB, BOC, COD i DOA.
  Zostały one oznaczone na rysunku jako 3 alfa, 6 alfa, 4 alfa, 2 alfa.
  Suma tych kątów wynosi:
  
  3 alfa + 6 alfa + 4 alfa + 2 alfa = 15 alfa ; co jednocześnie stanowi 360 stopni,
  więc alfa = 360 / 15 = 24 stopnie.
  
  Wobec tego poszczególne kąty wynoszą:
  Kąt AOB = 3 * 24 = 72 stopnie
  Kąt BOC = 6 * 24 = 144 stopnie
  Kąt COD = 24 * 24 = 96 stopni
  Kąt DOA = 2 * 24 = 48 stopni
  
  Teraz weź pod uwagę narysowaną na czerwono cięciwę BD.
  Kąt BOD jest kątem środkowym, równym sumie kątów AOB i DOA
  czyli wynosi 72 + 48 = 120 stopni.
  Kąt BCD jest oparty także na cięciwie BD więc jest 2 razy mniejszy od BOD.
  Mamy pierwszy kąt: BCD = 120 / 2 = 60 stopni.
  Przy okazji mamy kąt DAB, też oparty na cięciwie BD, ale z drugiej strony
  środka okręgu niż kąt BCD, wynosi więc:
  kąt DAB = 180 - kąt BCD = 120 stopni
  
  Analogiczną konstrukcję można przeprowadzić dla cięciwy AC
  (na rysunku nie jest ona zaznaczona)
  Oparty jest na niej kąt środkowy AOC = COD + DOA = 96 + 48 = 144
  więc kąt ABC = 144 / 2 = 72 stopnie
  oraz kąt CDA = 180 - kąt ABC = 108 stopni
  
  Możemy sprawdzić, że suma kątów: ABC + BCD + CDA + DAB =
  = 72 + 60 + 108 + 120 = 360 stopni, tyle ile powinna wynosić.

  Załączniki

  • czworokat_k.pdf (18 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie