Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 31.10.2013 (00:14)

  3.
  Rysunek jest w załączniku. Zaznaczam, że rysunek jest przybliżony, nie oddaje faktu, że wysokość ostrosłupa jest 3 razy większa od boku podstawy.
  Ostrosłup jest prawidłowy więc podstawa jest trójkątem równobocznym.
  
  Oznaczmy: a - długość boku podstawy (wtedy 3a to wysokość ostrosłupa)
  oraz h - wysokość ściany bocznej (odcinek AE lub CE na rysunku).
  Poza tym L - długość krawędzi bocznej, x - odcinek BE.
  
  Punkt E jest specjalny:
  Aby zmierzyć kąt nachylenia ścianek bocznych należy je przeciąć płaszczyzną prostopadłą do krawędzi BD ostrosłupa. Jest wiele takich płaszczyzn, tutaj wybieramy taką, która przechodzi przez krawędź AC podstawy i przecina bok BD właśnie w punkcie "E".
  
  Płaszczyzna ta jest prostopadła do BD więc każda prosta leżąca na tej płaszczyźnie i przechodząca przez E jest także prostopadła do BD. Skoro każda, to także prosta AE.
  Odcinek AE leży na przecięciu płaszczyzny AEC ze ścianą boczną ABD. Ponieważ AE jest prostopadłe do BD to w trójkącie ABD odcinek AE jest jego wysokością (oznaczamy jego długość przez h).
  
  Gdybyśmy obliczyli długość h w zależności od krawędzi podstawy "a", to korzystamy z tw. kosinusów i obliczamy kosinus kąta AEC (oznaczmy ten kąt "alfa"), szukany w zadaniu:
  
  h^2 + h^2 - 2h^2\,\cos\alpha = a^2 \qquad\qquad\mbox{zatem} \qquad\qquad \cos\alpha = \frac{2h^2 - a^2}{2h^2}
  
  Gdy znajdziemy "h" - rozwiążemy zadanie.
  W trójkącie ABD odcinek AE jest wysokością, odcinki BD i AD są równe (mają długość którą oznaczamy L, odcinek AB jest bokiem podstawy o długości "a". Odcinek BE oznaczamy "x". Z tw. Pitagorasa mamy następującą parę zależności:
  
  \left \{ \begin{array}{l}(L - x)^2 + h^2 = L^2\\~\\x^2 + h^2 = a^2\end{array} \right .
  
  Odejmujemy stronami drugie równanie od pierwszego i wymnażamy nawias. Skracają się kwadraty L, h oraz x, dostajemy:
  
  x = \frac{a^2}{2L}
  
  Teraz z drugiego z równań powyżej obliczamy kwadrat h
  
  h^2 = a^2 - x^2 = a^2\,\left(1 - \frac{a^2}{4L^2}\right)
  
  Potrzebujemy "L". Weźmy trójkąt BOD.
  Jest on prostokątny, odcinek OD = 3a, natomiast OB stanowi 2/3 wysokości trójkąta równobocznego o boku "a", czyli
  
  |OB| = a\,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{3} = a\,\frac{\sqrt{3}}{3}
  
  Z twierdzenia Pitagorasa liczymy L
  
  L^2 = |OB|^2 + (3a)^2 = \frac{1}{3}a^2 + 9a^2 = \frac{28}{3}a^2
  
  Wstawiamy kwadrat L do wzoru na h
  
  h^2 = a^2\,\left(1 - \frac{a^2}{4\cdot \frac{28}{3}a^2}\right) =\frac{109}{112}a^2
  
  I wreszcie wstawiamy kwadrat h do wzoru na szukany kosinus (ten wzór na początku)
  
  \cos\alpha = \frac{2\cdot\frac{109}{112}a^2 - a^2}{2\cdot \frac{109}{112}a^2 } = \frac{53}{109}
  
  Szukany kosinus to 53 / 109 = około 0,4862 (kąt około 61 stopni).
  
  Nie gwarantuję, zę się gdzieś nie pomyliłem, ale metoda jest dobra.
  ==============================

  Załączniki

  • ostroslup_kat_scianek.pdf (20 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie