Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2013 (03:57)

  Jedno, ale jakie smaczne!
  Na kalkulatorze równość się zgadza. Pokombinujmy: 47 + 25 = 61 + 11 = 72.
  Może coś to da. Zapiszmy lewą stronę tak:
  
  L = (sin47 - sin25) + (sin61 - sin11)
  
  i zastosujmy wzór [ jest w podręczniku lub w sieci ] na różnicę sinusów:
  
  \sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}
  
  Po wstawieniu kątów z zadania mamy po lewej stronie:
  
  L = 2\cos\frac{47+25}{2}\sin\frac{47-25}{2} + 2\cos\frac{61+11}{2}\sin\frac{61-11}{2} =
  
  =2\cos36\cdot(\sin 11 + \sin 25)
  
  Ponownie stosujemy wzór (tym razem na sumę) sinusów 25 i 11 stopni
  
  \sin x + \sin y = 2\cos\frac{x-y}{2}\sin\frac{x+y}{2}
  
  czyli
  
  L = 2\cos36\cdot 2\cos\frac{25-11}{2}\sin\frac{25+11}{2}= 4\cos 36\cdot\sin 18\cdot\cos 7
  
  W tablicach (lub w sieci) można sprawdzić, że 18 i 36 stopni to nie byle jakie kąty, wiążą się z pięciokątem i ze złotym podziałem, a wartości ich sinusa i kosinusa wynoszą:
  
  \sin 18 = \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \qquad\qquad\mbox{oraz}\qquad\qquad \cos 36 = \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}+1\right)
  Wstawiamy te wartości do wzoru na lewą stronę. Zauważ, że mamy w nawiasach wyrażenie typu: (a - b)(a + b) czyli różnicę kwadratów
  
  L = 4\cdot\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}+1\right)\cdot\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \cdot \cos7= 4\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot(5-1)\cdot\cos 7 = \cos 7
  
  co kończy dowód.
  
  Jeśli tego z kątami 18 i 36 stopni jednak nie znajdziesz - pisz na priv.
  Ale przedtem zauważ, że 36 = 2 * 18 oraz 2 * 36 = 72 = 90 - 18 :))

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie