Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.3.2013 (20:43)

  W załączniku jest rysunek trójkąta z zadania (nawet z zachowaniem skali).
  Poprowadzona w zadaniu prosta to niebieski odcinek CD.
  Promienie okręgów wpisanych (szarych) to odpowiednio R i r.
  
  Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu obwodu i promienia okręgu wpisanego.
  Ponieważ obwody trójkątów BCD i CDA są równe z założenia zadania więc:
  
  Stosunek r / R = stosunek pola trójkąta CDA do pola trójkąta CDB .
  
  Zauważ, że pole CDA = pole CBA - pole CDB, więc:
  
  \frac{r}{R}=\frac{pole_{CDA}}{pole_{CDB}}=\frac{pole_{CBA}-pole_{CDB}}{pole_{CDB}}= \frac{pole_{CBA}}{pole_{CDB}} - 1
  
  Zauważ, że trójkąty CBA i CBD mają wspólną podstawę CB i wspólny kąt przy wierzchołku B (ten zaznaczony na czerwono). Ze wzoru na pole trójkąta wykorzystującego sinus kąta:
  
  pole CBA = (1/2) * |CB| * |BA| * sin A
  pole CBD = (1/2) * |CB| * |BD| * sin A
  
  więc stosunek pól CBA do CBD jest równy stosunkowi długości odcinków BA i DA.
  
  Obliczamy |BA| z tw. Pitagorasa:
  |BA| = pierwiastek(12^2 + 5^2) = 13.
  
  Oznaczmy długość DA przez 'x'. Ponieważ trójkąty CBD i CDA mają jednakowe obwody to:
  12 + x + |CD| = 5 + (13 - x) + |CD| ; stąd x = 3
  
  Wobec tego |BD| = 13 - 3 = 10 jak zaznaczone na rysunku.
  Stosunek pól CBA do CBD = 13 / 10.
  
  Stosunek promieni r / R = 13 / 10 - 1 = 3 / 10

  Załączniki

  • trojkat.pdf (19 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie