Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 18.3.2013 (23:36)

  Przecinamy ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do podstawy, przechodzącą przez wysokość podstawy (płaszczyzna AOD na rysunku w załączniku).
  
  Kąt, o który chodzi w zadaniu, to kąt DAO.
  Tangens tego kąta to stosunek |DO| / |AO|.
  
  Zauważ, że AE jest wysokością trójkąta równobocznego o boku 'a' więc:
  
  |AE| = a * pierwiastek(3) / 2
  
  Jednocześnie punkt O jest środkiem trójkąta równobocznego, a takim trójkącie wysokość i środkowa pokrywają się. Środek trójkąta dzieli środkową w stosunku 2 : 1 więc:
  
  |AO| = (2/3) * |AE| = (2/3) * a * pierwiastek(3) / 2 = a * pierwiastek(3) / 3
  
  Teraz z tw. Pitagorasa liczymy |OD| w prostokątnym trójkącie AOD.
  Z założenia zadania |AD| = a.
  [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  |OD| = pierwiastek(|AD|^2 - |AO|^2) = pierwiastek[a^2 - (a * pierwiastek(3) / 3)^2 ]
  stąd
  |OD| = a * pierwiastek(2/3)
  
  Szukamy tangens wynosi:
  
  tg(kąta OAD) = |OD| / |OA| = [a * pierwiastek(2/3)] / [a * pierwiastek(3) / 3]
  
  tg(kąta OAD) = pierwiastek(2)

  Załączniki

  • czworoscian.pdf (12 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie