Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 13.3.2013 (13:31)

  To jest zadanie na prawdopodobieństwo warunkowe.
  Cicho zakładamy, że szane na wylosowanie każdej z urn są jednakowe i wynoszą po 1/3 (tego nie ma w zadaniu). Oznaczmy:
  
  Zdarzenie B - wylosowanie czarnej kuli
  Zdarzenie A - wylosowanie urny.
  To zdarzenie rozkłada się na 3 rozłączne przypadki:
  A1 - wylosowanie urny pierwszej, p(A1) = 1/3
  A2 - wylosowanie urny drugiej, p(A2) = 1/3
  A3 - wylosowanie urny trzeciej, p(A3) = 1/3
  
  Całe zdarzenie sprzyjające (wylosowanie urny i wylosowanie czarnej kuli) można zapisać jako iloczyn zdarzeń A i B następująco:
  
  B n A = B n (A1 u A2 u A3) = (B n A1) u (B n A2) u (B n A3)
  
  gdzie zdarzenie losowania urny zostało rozbite na sumę 3 zdarzeń, a następnie wymnożyliśmy nawias.
  
  Zauważ, że ponieważ zdarzenia A1, A2, A3 są rozłączne, to zdarzenia: B n A1, B n A2, B n A3 też są rozłączne. Wobec tego prawdopodobieństwo p(B n A) jest sumą prawdopodobieństw:
  
  p(B n A) = p(B n A1) + p(B n A3) + p(B n A3)
  
  Każda ze składowych to (wzór na prawdopodobieństwo warunkowe)
  p(B n A1) = p(B | A1) * p(A1)
  p(B n A2) = p(B | A2) * p(A2)
  p(B n A3) = p(B | A3) * p(A3)
  
  gdzie B | A1 znaczy: "zachodzi B pod warunkiem, ze zaszło A1".
  Wiemy, że p(A1) = p(A2) = p(A3) = 1/3.
  Napiszmy pozostałe wielkości:
  
  p(B | A1) znaczy: "prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli pod warunkiem, ze losujemy z urny pierwszej".
  
  W pierwszej urnie jest razem 10 kul, w tym 4 czarne,
  więc jedną czarną losujemy z szansą 4 / 10; czyli p(B | A1) = 4 / 10
  
  Analogicznie p(B | A2) = 15 / 25 (razem 25 kul, w tym 15 czarnych)
  
  Analogicznie p(B | A3) = 3 / 10 (razem 10 kul, w tym 3 czarne)
  
  Teraz trzeba podstawić te wszystkie ułamki:
  
  p(B n A) = (4/10) * (1/3) + (15/25) * (1/3) + (3/10) * (1/3) = 13 / 30
  
  I to jest odpowiedź do zadania: 13 / 30, jeśli się nie pomyliłem.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie