Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 9.3.2013 (05:25)

  Zadanie 6.
  Oznaczmy:
  h - wysokość walca, r - promień podstawy walca (szukamy średnicy = 2r)
  Pc - pole powierzchni całkowitej, Pb - pole powierzchni bocznej, Pp - pole podstawy
  V - objętość
  
  [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" jak się gdzieś pojawi ]
  
  Ponieważ Pc = Pb + 2 * Pp, a w zadaniu jest informacja, że Pc = 2 * Pb
  można napisać równanie:
  
  Pb + 2 * Pp = 2 * Pb ; stąd wynika, że: 2 * Pp = Pb
  
  Zapiszmy ten związek używając promienia podstawy i wysokości:
  
  2 * pi * r^2 = 2 * pi * r * h ; stąd wynika, że h = r
  
  Napiszmy wzór na objętość, podstawiając h = r
  
  V = pi * r^2 * h = pi * r^3 = pi * 27 (bo V = 27 * pi, podane w zadaniu)
  
  Wobec tego r^3 = 27 więc r = 3. Średnica walca = 2r = 6.
  ================================
  
  Zadanie 2.
  Patrz rysunek w załączniku.
  Potrzebujemy do obliczenia zarówno powierzchni jak i wysokości ściany bocznej następujących wielkości: wysokości ściany bocznej oraz długości krawędzi podstawy ostrosłupa.
  
  Szukamy teraz długości krawędzi podstawy. Oznaczmy ją 'a'.
  
  Trójkąt AOD jest prostokątny (Kąt prosty jest przy wierzchołku O),
  kąt OAD = 60 stopni (to jest kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy)
  wysokość OD = 6, jak wynika z zadania.
  
  Można z tego trójkąta znaleźć:
  
  |AO| = |OD| * ctg(60) = 6 * pierwiastek(3) / 3 = 2 * pierwiastek(3)
  
  Zauważ, że odcinek AO leży na środkowej AE trójkąta równobocznego ABC, a środkowe trójkąta równobocznego przecinają się w punkcie O, który dzieli odcinek AE w stosunku 2 : 1, czyli:
  
  |AO| = (2/3) * |AE| ; czyli |AE| = (3/2) |AO|
  
  Odcinek AE jest jednocześnie wysokością trójkąta, a w trójkącie równobocznym
  
  wysokość |AE| = a * pierwiastek(3) / 2 ; czyli a = 2 * |AE| / pierwiastek(3)
  
  Uwzględniamy poprzednie związki długości |AE| i |AO|, i mamy (w [ ] jest |AO| )
  
  a = 2 * (3/2) * [ 2 * pierwiastek(3) ] / pierwiastek(3) = 6. Mamy krawędź podstawy.
  
  Znajdujemy wysokość ED. Potrzebna będzie długość krawędzi bocznej, np. AD.
  Z trójkąta AOD wynika związek:
  
  |OD| / |AD| = sin(60)
  więc |AD| = |OD| / sin(60) = 6 / (pierwiastek(3)/2 ) = 4 * pierwiastek(3)
  
  Trójkąt BED jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku E), znamy |EB| = 3 (bo jest to połowa krawędzi podstawy)oraz |BD| = |AD|, obliczone wyżej. Z tw. Pitagorasa:
  
  |DE| = pierwiastek[ (4 * pierwiastek(3))^2 -+ 3^2 ] = pierwiastek(39)
  
  Mamy szukaną wysokość ściany bocznej = pierwiastek(39)
  
  Potrzebne jeszcze jest pole powierzchni. Jest to pole podstawy (trójkąta równobocznego o boku 'a') plus 3 * pole ścianki bocznej czyli:
  
  Pc = 6^2 * pierwiastek(3) / 4 + 3 * (1/2) * 6 * pierwiastek(39)
  
  Pc = 9 * [ pierwiastek(3) + pierwiastek(39) ]
  ================================
  
  Zadanie 3.
  Oznaczmy:
  r - promień podstawy stożka, h - wysokość stożka.
  Obie te wielkości są potrzebne do znalezienia objętości stożka.
  Zaczynamy od promienia podstawy.
  
  Kula ma objętość (4/3) pi * r^3 więc:
  
  (4/3) pi * r^3 = 288 pi ; stąd r^3 = 288 * (3/4) = 216 ; więc r = 6
  
  Teraz wysokość: Jeżeli przekroimy stożek płaszczyzną prostopadłą do podstawy, przechodzącą przez jej środek to powstanie trójkąt równoramienny. Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa, a podstawa jest równa średnicy podstawy stożka. W tym trójkącie wysokość, połowa podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny.
  
  W tym trójkącie h / r = tangens kąta z zadania = 5 / 3 więc
  
  h = r * 5 / 3 = 6 * 5 / 3 = 10.
  
  Mamy promień podstawy r = 3 oraz wysokość stożka h = 10. Liczymy objętość:
  
  V = (1/3) * pi * r^2 * h = (1/3) * pi * 6^2 * 10 = 120 pi
  ================================

  Załączniki

  • zadanie2.pdf (13 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie