Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 2.3.2013 (03:17)

  Od razu zamieniam dzielenie przez ułamek na mnożenie przez jego odwrotność.
  
  Czytaj: ^2 jako "do kwadratu" jak się gdzieś pojawi,
  Poza tym w (d) i w (e) stosujemy kilkukrotnie taki wzór:
  
  A^2 - B^2 = ( A - B)(A + B).
  
  Pozwolę sobie ominąć założenia (jak je pisałem, to nacisnąłem jakiś klawisz i cały tekst diabli wzięli).
  Istotne:
  Mianownik pierwszego i drugiego ułamka nie może być zerem, ale poza tym JESZCZE licznik drugiego ułamka nie może być zerem, bo drugi ułamek jest jednak w mianowniku piętrowego ułamka, generowanego przez znak ' : '
  
  d)
  =\frac{x^2-36}{x^2-4}\cdot\frac{x+2}{x^2-6x}=\frac{(x-6)(x+6)}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x+2}{x(x-6)}=\frac{x+6}{x(x-2)}
  
  e)
  =\frac{9x^2-25a^2}{x^2-16}\cdot\frac{x-4}{3x+5a}=\frac{(3x-5a)(3x+5a)}{(x-4)(x+4)}\cdot\frac{x-4}{3x+5a}= \frac{3x-5a}{x+4}
  
  f)
  Twoją ulubioną metodą rozkładamy na czynniki wszystkie liczniki i mianowniki:
  Licznik pierwszego ułamka
  x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)
  Mianownik pierwszego ułamka:
  x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)
  Licznik drugiego ułamka
  x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
  Mianownik drugiego ułamka:
  x^2 - 9x - 14 = (x - 7)(x + 2)
  
  Całość ma postać:
  = \frac{(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+5)}\,\cdot\,\frac{(x-7)(x-2)}{(x+3)(x+4)}=\frac{(x-7)(x-1)}{(x+4)(x+5)}
  
  W ostatnik wyrażeniu "gęsto" stosujemy rozkład wielomianu na czynniki.
  Są różne metody, najprościej zgadnąć, a tylko nieco trudniej obliczyć miersca zerowe ze wzorów Viete'a.
  Aby te wzory stosować sensownie, tzn. "na szybko" trójmian kwadratowy powinien mieć postać:
  
  x^2 + bx + c = 0
  
  czyli +1 przy x^2 oraz male liczby całkowite jako "b" i "c". Jeśli tak nie jest, to nie warto się we wzory Viete'a bawić. Jeśli jednak tak jest to:
  
  Suma rozwiązań ma dawać MINUS 'b'.
  Iloczyn rozwiązań na dawać 'c'.
  
  Weźmy np. do rozkładu jeden z mianowników: x^2 + 3x - 10 = 0.
  Suma rozwiązań = -3
  Iloczyn rozwiązań = -10
  Liczba "-10" może być iloczynem takich liczb całkowitych:
  
  -10 = (-5) * 2 = (-2) *5 = (-1) * 10 = (-10) * 1
  
  Sumy tych liczb dają odpowiednio:
  
  (-5) + 2 = -3; (-2) + 5 = 3; (-1) + 10 = 9; (-10) + 1 = -9
  
  Już za pierwszym razem trafiamy rozwiązanie: x1 = -5; x2 = 2
  (zaznaczam - jak rozwiązania nie są małymi liczbami całkowitymi,
  to nie ma co sobie zawracać głowy. Ale w szkole rozwiązania właśnie są PROSTE i warto próbować).
  
  jak masz miejsca zerowe trójmianu, to od razu piszesz trójmian w postaci:
  (x - x1)(x - x2); tutaj: (x + 5)(x - 2) !!! Zwroć uwagę na znaki w nawiasach !!!
  
  Naprawdę polecam metodę Viete'a, prawie "zgadywanka" ale uzasadniona.
  
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 2.3.2013 (03:28)

    Jeszcze dodam: Wzory Viete'a stosują się też do równań wyższych stopni, np. iloczyn rozwiązań równania:
    x^3 + bx^2 + cx + d = 0 jest równy "minus d".
    Dlatego często "zgaduje się" rozwiązania szukając wśród podzielników liczby - która powinna być całkowita i mała: "d".
    Ważny warunek: Podziel równanie tak, aby przy x^3 było +1.
    Inaczej zgubisz się w tych wzorach.