Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 25.1.2013 (08:32)

  Najpierw znajdziemy długości boków.
  Podstawa ma długość 'x', wtedy każde z ramion ma długość 2x.
  Obwód wynosi x + 2x + 2x = 60 więc podstawa ma długość 12, ramiona po 24.
  
  Teraz zrób rysunek tego prostokąta wpisanego w trójkąt.
  Będziemy szukać pola prostokąta w zależności od długości jednego z jego boków.
  
  Oznacz długość boku prostokąta leżącego na podstawie trójkąta przez 'a',
  oznacz długość drugiego z boków prostokąta przez 'b'.
  Zauważ, że prostokąt "wycina" z trójkąta 3 mniejsze trójkąty.
  Jeden z nich jest podobny do dużego trójkąta.
  Oznacz wysokość tego małego przez h, wysokość dużego trójkąta przez H.
  
  Wtedy z podobieństwa trójkątów:
  
  h / H = a / 12 ; czyli h = Ha / 12
  
  a jednocześnie b = H - h ; czyli, gdy wstawimy h z poprzedniego równania:
  
  b = H - Ha / 12
  
  Pole prostokąta wynosi P = ab = a(H - Ha / 12) = Ha(1 - a/12)
  
  Mamy zależność P(a). Szukamy maksimum P(a). Jest to funkcja kwadratowa,
  przy czym współczynnik przy a^2 jest ujemny więc istnienie maksimum.
  Jest ono położone w połowie odległości między miejscami zerowymi P(a).
  Miejsca zerowe to: a1 = 0; a2 = 12.
  
  Maksimum wypada dla a = 6, czyli jeden z boków to połowa podstawy trójkąta.
  
  Do obliczenia boku 'b' nie obejdzie się jednak bez policzenia wysokości H.
  Z tw. Pitagorasa:
  H = pierwiastek(24^2 - 6^2) = 6 * pierwiastek(15)
  
  b = 6 * pierwiastek(15) * (1 - 6/12) = 3 * pierwiastek(15).
  
  Mamy szukane boki. Przy okazji pole dużego trójkąta to:
  (1/2) * 6 * pierwiastek(15) * 12 = 36 * pierwiastek(15),
  pole prostokąta to
  6 * 3 * pierwiastek(15) = 18 * pierwiastek(15), czyli połowa pola trójkąta.
  Zawsze dla prostokąta wpisanego w trójkąt równoramienny tak, jak w zadaniu wyjdzie, że jego pole jest połową pola trójkąta.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    Zero 25.1.2013 (10:15)

    Dzięki wielkie za pomoc. Nie mogłem wykombinować właśnie jak zrobić tam f. kwadratową ale teraz już rozumiem. :)