Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 19.12.2012 (11:59)

  11.
  Poziomy na rysunku bok trójkąta wynosi (2/3)a ponieważ jest to podstawa równoramiennego trójkąta o kącie wierzchołkowym 60 stopni (bo tyle ma kąt na ściance czworościanu) i bokach równych (2/3)a, więc trójkąt ten jest równoboczny.
  Ukośne boki: Zauważ (na tylnej ściance dobrze to widać) że ukośny bok jest bokiem trójkąta z kątem wierzchołkowym 60 stopni i bokach przy tym wierzchołku równych (1/3)a i (2/3)a. Jak to się narysuje w trójkącie równobocznym to okazuje się, że ukośny odcinek jest równoległy do wysokości trójkąta równobocznego (te same stosunki boków) i wspomniany trójkąt o bokach (1/3)a i (2/3)a jest prostokątny, przy czym bok (2/3)a jest przeciwprostokątną, dlatego szukany ukośny bok ma długość liczoną z tw. Pitagorasa równą:
  
  a * pierwiastek[ (2/3)^2 - (1/3)^2 ] = a * pierwiastek(3) / 3 [czytaj ^2 jako "do kwadratu"]
  
  Biorąc połowę poziomego boku, czyli (1/3)a liczymy z tw. Pitagorasa wysokość zakreskowanego trójkąta:
  
  a * pierwiastek[ (pierwiastek(3) / 3)^2 - (1/3)^2 ] = a * pierwiastek(2) / 3
  
  Mamy wysokość i podstawę. Pole P wynosi:
  
  P = (1/2) * (2/3)a * a pierwiastek(2) / 3 = a^2 * pierwiastek(2) / 9
  ===================
  
  12.
  Bok zaznaczonego przekroju jeżący na podstawie czworościanu to przekątna podstawy więc ma długość a * pierwiastek(2).
  Przekrój jest trójkątem równoramiennym. Potrzebna jest jego wysokość (ta zaznaczona na tysunku przy kącie beta). Narysuj osobno przekrój czworościanu płaszczyzną zawierającą kąty alfa i beta (jest to równoramienny trójkąt o podstawie równej a*pierwiastek(2) i kątach alfa przy podstawie). Zaznacz szukaną wysokość szarego trójkąta jako odcinek od połowy podstawy do boku, pod kątem beta.
  Oznacz szukaną wysokość przez 'h'. Kąt tworzony przez tą wysokość z bokiem trójkąta - przekroju czworościanu - wynosi 180 - alfa - beta.
  Z tw. sinusów mamy:
  
  h / sin(alfa) = [a*pierwiastek(2)/2] / sin(180 - alfa - beta) ; stąd
  
  h = [a*pierwiastek(2)/2] * sin(alfa) / sin(alfa + beta)
  
  Pole P szarego trójkąta wynosi:
  
  P = (1/2) * [a * pierwiastek(2)] * [a*pierwiastek(2)/2] * sin(alfa) / sin(alfa + beta) =
  = (1/2) a^2 * sin(alfa) / sin(alfa + beta)
  
  Zauważ, że gdy beta = 0 pole P jest połową pola podstawy czworościanu, co się zgadza. Można też zrobić inne testy, ale chyba się nie pomyliłem.
  ===================
  
  Zamieść proszę zadanie 13 osobno, bo ten tekst robi się za długi.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie