Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 15.12.2012 (20:57)

  Czytaj: ^2 jako "do kwadratu"; oo jako nieskończoność;
  >= to "większe lub równe" ; <= to "mniejsze lub równe"
  
  Zadanie 1.
  We wszystkich przykładach przenosimy wszystko na lewą stronę, gdy potrzeba wymnażamy nawiasy, znajdujemy pierwiastki odpowiedniego równania kwadratowego i zapisujemy wyrażenie ponownie w postaci iloczynu typu:
  (x - x1)(x - x2)
  Jeżeli w wyrażeniu ax^2 + bx + c współczynnik 'a' jest dodatni to wykresem tego wyrażenia jest parabola w kształcie litery "U", wartości ujemne wyrażenia znajdują się pomiędzy x1 i x2, wartości dodatnie na lewo od mniejszego pierwiastka i na prawo od większego. Gdy współczynnik 'a' jest ujemny - jest odwrotnie.
  W przykładzie (a) pokazuję to dokładniej.
  ================================
  
  a)
  x^2 - 3x + 2 - 20 > 0 ; <------ wymnażamy nawiasy, przenosimy 20 na lewą stronę
  x^2 - 3x - 18 > 0
  Odpowiednie równanie to: x^2 - 3x - 18 = 0
  Z wzorów Viete'a (suma = 3, iloczyn = 18) znajdujemy x1 = -3, x2 = 6
  Zapisujemy nierówność jako:
  
  (x+3)(x - 6) > 0
  
  Współczynnik przy x^2 jest dodatni więc iloczyn nawiasów jest dodatni po lewej stronie od x1 =-3 i po prawej stronie od x2 = 6.
  Można to wyjaśnić też tak: Gdy x < -3 oba nawiasy są ujemne więc ich iloczyn jest dodatni. Gdy x > 6 oba nawiasy są dodatnie i ich iloczyn też jest dodatni.
  
  Rozwiązanie:
  x należy do (-oo, -3) U (6, +oo)
  ================================
  
  b)
  3x - x^2 -5x - 4 >= 0
  -x^2 -2x - 5 >= 0 ; Mnożymy przez -1 zmieniając znak nierówności
  x^2 + 2x + 5 <= 0
  Odpowiednie równanie to x^2 + 2x + 5 = 0
  Delta = 4 - 4*4 = -16
  Delta jest mniejsza od zera, nie ma pierwiastków.
  Ponieważ przy x^2 jest współczynnik dodatni wyrażenie x^2 + 2x + 5 jest zawsze dodatnie.
  Zbiór rozwiązań jest pusty
  ================================
  
  c)
  16x^2 -40x + 25 - 4x^2 + 9x - 5 < 0
  12x^2 - 31x + 20 < 0
  Odpowiednie równanie to: 12x^2 - 31x + 20 = 0
  delta = 31^2 - 4*12*20 = 1
  x1 = (31 - 1) / 24 = 5 / 4;
  x2 = (31 + 1) / 24 = 4 / 3;
  Współczynnik przy x^2 jest dodatni więc rozwiązaniem jest przedział pomiędzy x1, x2.
  x należy do (5/4, 4/3)
  ================================
  
  d)
  (x - 2)(x + 3 - 2x - 5) < 0 ; <------- korzystamy z tego, że x - 2 jest po obu stronach
  (x - 2)(-x - 2) < 0 ; Mnożymy przez -1, zmieniając znak nierówności
  (x - 2)(x + 2) > 0
  Pierwiastki: x1 = -2; x2 = 2.
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni to:
  x należy do (-oo, -2) U (2, +oo)
  ================================
  
  e)
  3x^2 - 2x >= 0 ; <------- pomnożyliśmy przez -1/2
  x(3x - 2) > = 0
  Pierwiastki: x1 = 0 ; x2 = 2 / 3
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni to:
  x należy do (-oo, 0> U <2/3, +oo) ; <---- Uwaga: 0 i 2/3 należą!
  ================================
  
  f)
  x(x - 3) <= 0 ; <------- podzieliliśmy przez 2
  Pierwiastki: x1 = 0 ; x2 = 3
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni to:
  x należy do <0, 3> ; <---- Uwaga: 0 i 3 należą!
  ================================
  
  g)
  x^2 - 9 <= 0 ; <---- mnożymy przez -1 zmieniając znak
  (x + 3)(x - 3) <= 0
  Pierwiastki: x1 = -3 ; x2 = 3
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni to:
  x należy do <-3, 3> ; <---- Uwaga: -3 i 3 należą!
  ================================
  
  h)
  Odpowiednie równanie to -2x^2 + 3x + 2 = 0
  Delta = 9 - 4*(-2)*2 = 25 ; pierwiastek(delta) = 5
  x1 = (-3 - 5) / (-4) = 2
  x2 = (-3 + 5) / (-4) = -1/2
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest ujemny to:
  x należy do < -1/2, 2 > ; <------- Uwaga: -1/2 i 2 należą!
  ================================
  
  i)
  (2x + 5)(2x - 5) < 0
  Pierwiastki: x1 = -5/2 ; x2 = 5/2
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni to:
  x należy do (-5/2, 5/2)
  ================================
  
  j)
  x^2 - 2x - 2x - 6 < 0
  x^2 - 4x - 6 < 0
  Delta = 16 - 4*(-6) = 40 ; pierwiastek(delta) = 2 * pierwiastek(10)
  x1 = 2 - 2 * pierwiastek(10)
  x2 = 2 + 2 * pierwiastek(10)
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni to:
  x należy do (2 - 2 * pierwiastek(10), 2 + 2 * pierwiastek(10))
  ================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie