Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.12.2012 (10:27)

  Oznaczmy:
  a, b - przyprostokątne trójkąta, c - przeciwprostokątna.
  R - promień okręgu opisanego, r - promień okręgu wpisanego.
  Mamy następujące zależności:
  
  1) Tw. Pitagorasa:
  
  a^2 + b^2 = c^2
  
  2)
  Pole trójkąta można wyrazić albo jako iloczyn r przez połowę obwodu, albo jako połowę iloczynu a*b
  
  \frac{1}{2}r(a+b+c) = \frac{1}{2}ab
  
  3)
  Środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej więc:
  
  c = 2R
  
  Mamy 3 niewiadome a,b,c i 3 równania. Podstawiamy dane R, r, więc z ostatniego równania od razu wiemy, że przeciwprostokątna c = 10 cm. W drugim równaniu skracamy 1/2, podstawiamy r = 2 i mamy już tylko 2 równania z niewiadomymi a,b.
  
  \left\{\begin{array}{l}a^2 + b^2 = 100\\\,\\2(a+b+10)= ab\end{array}\right .
  
  Teraz trzeba to "sprytnie" rozwiązać.
  
  Do pierwszego równania dodajmy 2ab po obu stronach.
  Wtedy po lewej stronie mamy: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
  A po prawej 100 + 2ab.
  Iloczyn "ab" podstawiamy z drugiego równania i dostajemy:
  
  (a+b)^2 = 100 + 4(a+b) + 40
  
  Teraz podstawiamy: x = a + b ; powyższe równanie przechodzi, po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę, w:
  
  x^2 -4x - 140 = 0
  
  To równanie kwadratowe rozwiązujesz w standardowy sposób i masz:
  x1 = -10 ; odrzucamy, suma długości boków nie może być ujemna
  x2 = 14 ; czyli a + b = 14 ; stąd b = 14 - a
  i to wstawiamy do równania wynikającego z tw. Pitagorasa:
  
  a^2 + (14 - a)^2 = 100\qquad\mbox{zatem}\qquad 2a^2 - 28a + 96 = 0
  
  Rozwiązanie tego równania daje a1 = 6, a2 = 8, co z kolei, ponieważ a + b = 14
  daje b1 = 8, b2 = 6 (można się tego było spodziewać, bo nie wiadomo, która przyprostokątna trójkąta jest tą krótszą.
  
  Odpowiedź: Boki trójkąta to: 6 cm, 8 cm,, 10 cm.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie