Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.11.2012 (10:19)

  Zadanie 1. Pamiętamy, że i^2 = -1
  a)
  Licznik: wymnażamy nawiasy, a potem mianownik i licznik mnożymy przez 1 + i.
  (ta sama metoda, co przy pozbywaniu się niewymierności z mianownika)
  
  \frac{-(i\sqrt{3}-1)(i\sqrt{3}+1)}{1-i}=\frac{(3+1)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{4(1+i)}{1+1} = 2 + 2i
  
  b)
  Zamieniamy liczbę na postać wykładniczą. Zauważ, że 1/2 = cos(-pi/3) oraz -pierwiastek(3)/2 = sin(-pi/3), moduł liczby wynosi 1, więc:
  
  \left(\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)^{15} = \left(e^{-\pi i/3}\right)^{15} = e^{-5\pi i} = \cos(-5\pi) + i\sin(-5\pi) = -1
  
  c)
  Moduł liczby pod pierwiastkiem to \sqrt{1^2 + (\sqrt{3}\,)^2} = 2
  więc, prawie identycznie jak w (b)
  
  \sqrt[6]{1+i\sqrt{3}} = \left(2e^{\pi i/3}\right)^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{2}e^{\pi i/18} = \sqrt[6]{2}\cos(\pi/18)+i\sqrt[6]{2}\sin(\pi/18)
  
  i chyba w takiej postaci trzeba to zostawić, nie bawiąc się w liczenie cos i sin z pi/18 (choć jest to możliwe ale upierdliwe nadzwyczaj)
  
  d)
  Moduł z liczby to pierwiastek(2). Kąt, gdy się moduł wyciągnie przed liczbę odpowiada warunkom: cos(fi) = -pierwiastek(3)/2, sin(fi) = 1/2 więc fi = 2 pi/3.
  
  \left(\frac{1}{\sqrt{2}}i - \frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{24}=\left(\sqrt{2}e^{2\pi / 3}\right)^{24} =
  
  = 2^{12}e^{16\pi i} = 2^{12}[\cos(16\pi)+i2^{12}\sin(16\pi)] = 4096
  
  e)
  Pamiętaj, że e^(2 pi i) = 1. Reszta jak w przykładzie (b)
  
  = \left(e^{-pi/3}\right)^{77} = \left(e^{2\pi i}\right)^{24}\cdot e^{-5\pi i/3} = 1\cdot[\cos(5\pi/3) + i\sin(5\pi)/3] = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}
  
  f)
  Moduł z "1 - i" to pierwiastek(2), moduł z "pierwiastek(3) + i" to 2.
  
  \frac{(1-i)^{11}}{(\sqrt{3}+i)^6} = \frac{(\sqrt{2}\,)^{11}\,\left(e^{-\pi i/4}\right)^{11}}{2^6\,\left(e^{\pi i/6}\right)^6}=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-11\pi / 4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(e^{2\pi i}\right)^{-2}\,e^{\pi i/4} =
  
  = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1\cdot[\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)] = \frac{1}{2}+\frac{i}{2}
  
  g)
  Straszne! Korzystamy z poprzednich przykładów aby zapisać to w postaci wykładniczej. i^3 = -i.
  
  = -i\cdot\frac{2^2\left(e^{\pi i/6}\right)^2\cdot\left(\sqrt{2}\,\right)^3\left(e^{-\pi i /4}\right)^3}{2e^{\pi i /6}}=-4-4i
  
  Użyłem Maximy do wyliczenia końcowego rezultatu.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie