Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.11.2012 (19:36)

  Zadanie 6.
  Pierwiastki 4-go stopnia z 1 leżą w wierzchołkach kwadratu i mają współrzędne:
  
  z_1 = 1;\qquad z_2 = i;\qquad z_3 = -1; \qquad z_4 = -i
  
  [albo, jak wolisz, na płaszczyźnie XY są to punkty: (1,0); (0,1); (-1,0); (0,01) ]
  
  Z teorii wiadomo, że gdy mnoży się dwie liczby zespolone to moduł wyniku jest iloczynem modułów czynników, a argument wyniku (kąt) sumą argumentów czynników.
  Natomiast dodawanie liczb zespolonych to po prostu dodawanie wektorów odpowiadających tym liczbom na płaszczyźnie XY. Wykorzystamy obie właściwości.
  
  a)
  Możenie i * z oznacza obrót o 90 stopni w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara, gdyż:
  i = 1*e^(pi i/2)
  (|i*z| = |z|, ale argument rośnie o pi/2). Dlatego po operacji mnożenia dostanie się te same punkty co wyżej, ale:
  z1 przejdzie na miejsce z2 czyli na pozycję (0,1)
  z2 przejdzie na miejsce z3 czyli na pozycję (-1,0)
  z3 przejdzie na miejsce z4 czyli na pozycję (0,-1)
  z4 przejdzie na miejsce z1 czyli na pozycję (1,0)
  Dodanie 2 do liczby zespolonej oznacza przesunięcie jej w prawo o wektor (2,0).
  Cała operacja 2 + iz produkuje więc następujące punkty:
  
  w_1 = (2,1);\qquad w_2 = (1,0);\qquad w_3 = (2, -1);\qquad w_4 = (3,0)
  
  i te punkty trzeba zaznaczyć.
  
  b)
  Mnożenie przez 2 podwaja moduł ale nie zmienia argumentu (bo 2 = 2*e^0)
  Zaznaczasz:
  
  w_1 = (2,0);\qquad w_2 = (0,2);\qquad w_3 = (-2,0); \qquad w_4 = (0,-2)
  
  c)
  Ponieważ (i + 1) = pierwiastek(2) * e^(pi i/4)
  (moduł rośnie pierwiastek(2) raza, argument zwiększa się o pi/4)
  to operacja mnożenia przez i + 1 oznacza obrót o 45 stopni i wydłużenie pierwiastek(2) raza.
  z1 przechodzi na (pierwiastek(2) , pierwiastek(2) )
  z2 przechodzi na (-pierwiastek(2) , pierwiastek(2) )
  z3 przechodzi na (-pierwiastek(2) , -pierwiastek(2) )
  z4 przechodzi na (pierwiastek(2) , -pierwiastek(2) )
  Następnie dodajemy 2 + i czyli wektor (2,1). Zaznaczyć należy:
  
  w_1 = (\sqrt{2}+2, \sqrt{2}+1);\qquad w_2=(-\sqrt{2}+2, \sqrt{2}+1);
  
  w_3=(-\sqrt{2}+2, -\sqrt{2}+1);\qquad w_4=(\sqrt{2}+2, -\sqrt{2}+1)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie