Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 17.10.2012 (14:35)

  a)
  Dla przestrzeni R^1 odcinek pomiędzy punktami x1, x2 to zbiór takich x, że:
  
  W = \{\,x \in R\,: \,x = tx_1 + (1-t)x_2 \,\, ; \,\,\, t \in [0,1]\,\}
  
  Zbiór wypukły W to taki, że każdy zawarty w nim odcinek należy do tego zbioru.
  
  Czyli inaczej mówiąc, w tym wypadku, dla dowolnych x1, x2 <= a
  punkt x leżący między x1, x2 ma być niewiększy od a.
  
  Zaprzeczmy wypukłości przedziału z zadania.
  Powiedzmy, że w przedziale (-oo, a] istnieje para x1 < x2 <= a, tworząca odcinek, który zawiera punt x > a, czyli
  
  x = t\,x_2 + (1-t)\,x_1 > a
  
  Powyższa nierówność prowadzi do wzoru na t:
  
  t > \frac{a - x_1}{x_2 - x_1}
  
  Licznik jest skończony. Jeżeli x2 jest dowolnie blisko x1 to 't' może być dowolne, co jest sprzeczne z definicją odcinka, więc założenie x > a jest fałszywe.
  
  PS: Wygodniej sprawdza się wypukłość przedziału [a, +\infty)
  ==============
  
  b)
  W Google na hasło "kula jest zbiorem wypukłym" patrz pierwsze zgłoszenie :)
  Nie będę przepisywać :)
  ==============

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 17.10.2012 (15:01)

    Nie, to rozwiązanie (a) jest chyba źle. Powinno się pokazać, że dla t z przedziału [0,1] zachodzi x < a.
    Technika dobra, ale logika zła :(