Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 15.10.2012 (08:29)

  Wyrażenie pod pierwiastkiem ma być nieujemne.
  
  1) obie proste x = 0, y = 0 należą do dziedziny niezależnie od m
  
  2) dla | m | <= 2 dziedziną jest całe R^2 gdyż wtedy:
  
  Dla ćwiartki I i III, tzn. gdy xy > 0 mamy:
  -2xy < -mxy < 2xy więc
  (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 < x^2 - mxy + y^2 < x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
  a oba ograniczające nierówność kwadraty są dodatnie.
  Dla ćwiartki iI i IV, tzn. gdy xy < 0 mamy:
  -2xy > -mxy > 2xy więc
  (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 > x^2 - mxy + y^2 > x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
  a oba ograniczające nierówność kwadraty są dodatnie.
  
  3) dla | m | > 2 przechodzimy do współrzędnych biegunowych (r, alfa)
  
  x^2 -mxy + y^2 = r^2\sin^2\alpha -\frac{mr^2}{2}\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha + r^2\cos^2\alpha=
  
  = r^2\,\left[1-\frac{m}{2}\sin(2\alpha)\right]
  
  Wyrażenie to jest ujemne gdy
  
  \sin(2\alpha) > \frac{2}{m}
  
  Wyrażenie to opisuje dwie proste przecinające się w punkcie (0,0).
  Jeżeli m jest dodatnie z dziedziny wykluczone są obszary w I i IV ćwiartce, leżące pomiędzy opisanymi prostymi (załącznik pokazuje na czarno wykluczony obszar dla m = 4)
  Jeżeli m jest ujemne wykluczamy obszary w II i IV ćwiartce.
  
  Napiszmy jeszcze równania ograniczających prostych w postaci y(x)
  Korzystamy ze wzorów na funkcje trygonometryczne połówki kąta.
  Dla m > 0 wsp. kierunkowy pierwszej prostej to:
  
  \mbox{tg}\,\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)} = \frac{\frac{2}{m}}{1+\sqrt{1-\left(\frac{2}{m}\right)^2}}=\frac{2}{m+\sqrt{m^2-4}}
  
  Druga prosta ma współczynnik kierunkowy równy:
  tg(90 - alfa) = ctg(alfa) = 1 / tg(alfa).
  Warunek ograniczający dla m > 0 w I ćwiartce: Do dziedziny NIE należą takie pary (x,y), że:
  
  \frac{2}{m+\sqrt{m^2-4}}\,x < y < \frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2}\,x
  
  Gdy m < -2 ograniczenie występuje w II i IV ćwiartce. Wystarczy wziąć proste prostopadłe do podanych czyli dopisać minusy w powyższym wzorze.
  Jeszcze trzeba uważać na znaki nierówności, dla x < 0 odwracamy je.
  

  Załączniki

  • wykres.jpg (9 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie