Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 26.9.2012 (10:03)

  Pierwsza metoda: Przedstawiamy f(x) w postaci:
  
  f(x) = e^{(x-a/2)^2 - a^2/4} = \frac{1}{e^{a^2/4}}\cdot e^y
  
  Dla dowolnego 'a' ułamek jest zawsze dodatnią stałą, natomiast e^y jest monotonicznie rosnące i ma drugą pochodną dodatnią, co powoduje, że wypukłość (czy wklęsłość) f(x) jest stała dla każdego 'a'.
  
  Druga metoda:
  Badamy drugą pochodną f(x)
  
  f'(x) = (2x-a)\,e^{x^2-ax}
  
  f''(x) = (4x^2 -4ax + a^2 + 2)\,e^{x^2-ax}
  
  e^y jest zawsze dodatnie, badamy znak wyrażenia w nawiasie.
  
  "Delta" wynosi:
  
  \Delta = (-4a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a^2 + 2) = - 32
  
  Delta jest ujemna, brak miejsc zerowych. Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni wyrażenie w nawiasie jest też zawsze dodatnie, niezależnie od "a", druga pochodna jest zawsze dodatnia.
  
  Naprawdę nigdy nie pamiętam czy wtedy funkcja jest wypukła, czy wklęsła.
  Chyba "wypukła" w/g definicji z Wikipedii.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie