Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 6.9.2012 (14:42)

  Zadanie 1.
  Odcinek łączący środki ramion dzieli trapez ABCD na 2 trapezy o równych wysokościach. Oznaczmy:
  a - dłuższa podstawa trapezu ABCD
  b - krótsza podstawa trapezu ABCD
  x - wspólna podstawa obu małych trapezów
  h - wysokość małych trapezów
  
  Ze stosunku pól mamy pierwsze równanie (ze wzoru na pole trapezu)
  
  \frac{\frac{1}{2}(x+b)h}{\frac{1}{2}(x+a)h} = \frac{5}{11}
  
  Po uproszczeniu 1/2 oraz h, wymnożeniu proporcji na krzyż i porządkowaniu dostajemy przydatną dalej postać pierwszego równania:
  
  6x = 5a - 11b
  
  Długość "x" jest średnią arytmetyczną długości a i b (bo ramiona trapezu były dzielone na pół, więc:
  x = (a+b) / 2 czyli 6x = 3(a + b)
  Wstawiamy to do powyższego równania, upraszczamy, i dostajemy związek:
  
  a = 7b
  
  Drugi związek wynika z tego, że gdy trapez jest opisany na okręgu, to sumy długości podstaw są równe sumie długości ramion, czyli:
  
  a + b = 8
  
  Z ostatnich 2 równań już bez problemu wychodzi: a = 7; b = 1.
  ============================
  
  Zadanie 2.
  Trzeba znaleźć wysokość trapezu. Zrób rysunek tego, co w zadaniu. Wysokość trapezu oznacz "h" i poprowadź prostopadłe od wierzchołków przy krótszej podstawie do dłuższej podstawy. Zauważysz, że:
  
  h\cdot\mbox{ctg}\,30{}^\circ + 2 + h\cdot\mbox{ctg}\,45{}^\circ = 5
  
  Z tego równania mamy wysokość trapezu:
  
  h = \frac{3}{\mbox{ctg}\,30{}^\circ + \mbox{ctg}\,45{}^\circ} = \frac{3}{\sqrt{3}+1}
  
  A dalej to już prosto: Pole P wynosi:
  
  P = \frac{5+2}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{3}+1} = \frac{21}{2(\sqrt{3}+1)} = \frac{21}{4}\,(\sqrt{3}-1)
  
  (w ostatnim kroku usunąłem niewymierność z mianownika i mam nadzieję, że się nie pomyliłem, bo o to łatwo!).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie