Treść zadania

Rozwiązania

• 

  3 0

  antekL1 26.7.2012 (16:28)

  Mamy funkcję kwadratową (zwróć uwagę na zapis z użyciem a, b, c)
  
  y = ax^2 + bx + c = 3x^2 + 2x - 5
  
  Tutaj: a = 3, b = 2, c = -5.
  Aby znaleźć postać iloczynową należy znaleźć pierwiastki równania:
  
  3x^2 + 2x - 5= 0
  
  Standardowa metoda: delta = 2*2 - 4 * 3 * (-5) = 64.
  pierwiastek(delta) = 8
  x1 = (-2 - 8) / (2*3) = -10/6 = -5/3
  x2 = (-2 + 8) / (2 * 3) = 1
  
  Postać iloczynowa (zwróć uwagę, że używam "a" jak na początku)
  
  y = a\,(x-x_1)\,(x-x_2) = 3\,(x + \frac{5}{3})\,(x-1)
  
  Postać kanoniczna to:
  
  y = a\,(x-x_w)^2 + y_w = a\,\left(x +\frac{b}{2a}\right)^2 + y_w
  
  (xw, yw) to współrzędne wierzchołka paraboli. Jeśli mamy postać iloczynową to wierzchołek ma wsp. xw równą średniej arytmetycznej x1, x2. Ale nawet gdy nie ma rzeczywistych pierwiastków to druga postać wzoru na postać kanoniczną obowiązuje - ze wzoru Viete'a.
  U nas: b/(2a) = 2/(2*3) = 1/3.
  Współrzędną yw wierzchołka, zamiast uczyć się skomplikowanego wzoru z deltą, znajdujemy podstawiając xw = MINUS a/(2b) = -1/3 do wzoru funkcji kwadratowej:
  
  3\cdot(-1/3)^2 + 2\cdot(-1/3) - 5 = -\frac{16}{3}
  
  Więc postać kanoniczna to:
  
  3\,\left(x +\frac{1}{3}\right)^2 -\frac{16}{3}
  
  Wykres. Narysuj parabolę w kształcie "U", wierzchołek w (-1/3, -16,3), przechodzącą przez miejsca zerowe (-5/3, 0) oraz (1,0). Oś OY jest przecinana w (0, -5).
  
  Zbiór wartości to zakres y, od wierzchołka w górę. Nazwę ten zbiór W.
  
  W = <\frac{-16}{3}, +\infty)
  
  Funkcja przybiera wartości ujemne pomiędzy miejscami zerowymi, które już wyznaczyliśmy, czyli dla:
  
  x \in (-\frac{5}{3},1)
  
  Dodatnie wartości dla:
  
  x \in (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup (1, +\infty)
  
  Funkcja jest malejąca dla x mniejszych od xw (ZAUWAŻ, że ten wniosek jest prawdą dla parabol w kształcie U, gdy współczynnik przy x kwadrat jest dodatni. Gdy ten współczynnik jest ujemny wykres ma kształt odwróconego "U" i ujemne/dodatnie zmieniają się miejscami. A gdy nie ma miejsc zerowych - wnioskujemy z postaci kanonicznej).
  
  x \in (-\infty, -\frac{1}{3})
  
  Funkcja jest rosnąca dla x większych od xw (z uwagą jak wyżej)
  
  x \in (-\frac{1}{3}, +\infty)
  
  Najmniejsza i największa wartość: Podany przedział zawiera wierzchołek paraboli, więc najmniejsza wartość to yw = -16/3.
  Parabola rośnie symetrycznie po obu stronach wierzchołka więc największą wartość osiąga na końcu przedziału. Możesz wymyślić lepszy sposób (BO JEST) ale ja przez podstawianie -3 i 1/2 do wzoru paraboli dostałem lepszy wynik dla x = -3
  Maksymalna wartość dla x = -3 wynosi 16.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 26.7.2012 (16:29)

    Jak masz pytania - pisz na priv, bo mnie już bolą palce (bardziej od pielenia trawnika, mniej od pisania).