Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 31.5.2012 (09:32)

  1. We wszystkich przykładach staramy się sprowadzić kąty do małych kątów typu 30, 45, 60 stopni (odpowiednio do pi/6, pi/4, pi/3) i wstawić wtedy znane wartości funkcji trygonometrycznych.
  Na przykład sin(120) = sin(90+30) = cos(30) = pierwiastek(3)/2.
  W podręczniku lub w sieci są tablice takich zamian.
  
  a) Przede wszystkim trzeba poodejmować wielokrotności 360 stopni. Odjęcie 360 stopni od kąta nie zmienia wartości funkcji
  sin(450) = sin(360 + 90) = sin(90) = 1
  cos(900) = cos(2*360+180) = cos(180) = -1
  tg(1620) = tg(4*360 + 180) = tg(180) = 0
  Całe wyrażenie ma wartość:
  3 * 1 - 2 * (-1) + 5 * 0 = 5
  
  b)
  cos(-330) = cos(-330 + 360) = cos(30) = pierwiastek(3) / 2
  tg(120) = -ctg(30) = -pierwiastek(3)
  sin(-225) = sin(-225+360) = sin(135) = cos(45) = pierwiastek(2) / 2
  Całe wyrażenie ma wartość:
  
  \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-\sqrt{3})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{-3}{\sqrt{2}} = -\frac{3}{2}\,\sqrt{2}
  
  c)
  ctg(1 i 5/6 pi) = -ctg(1/6 pi) = -pierwiastek(3)
  cos(1 i 1/6 pi) = -cos(1/6 pi) = -pierwiastek(3) / 2
  Całe wyrażenie ma wartość:
  
  -\sqrt{3} - 2\,\frac{-\sqrt{3}}{2} = 0
  
  -------------------------------------
  
  2. Przede wszystkim odejmujemy 2pi od podanego zakresu kątów bo to nie zmienia wartości funkcji. Równie dobrze alfa może należeć do przedziału (1/2 pi, pi), czyli do drugiej ćwiartki. W tej ćwiartce tylko sinus jest dodatni, pozostałe funkcje są ujemne. Następnie stosujemy wzory z podręcznika na zamianę funkcji.
  
  \mbox{ctg}\,x = \frac{1}{\mbox{tg}\,x} = -\frac{8}{15}
  
  Sinus jest dodatni, pomijamy "minus" przy tangensie.
  
  \sin x = \frac{\mbox{tg}\,x}{\sqrt{1+\mbox{tg}^2\,x}} = \frac{\frac{15}{8}}{\sqrt{1+\left(\frac{15}{8}\right)^2}} = \frac{15}{17}
  
  Kosinus wygodniej jest policzyć z "jedynki trygonometrycznej", ale pamiętaj, że jest on ujemny.
  
  \cos x = -\sqrt{1-\sin^2x} = -\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2} = -\frac{8}{17}
  
  -------------------------------------
  
  3.
  sin x - to zwykły wykres sinusa, jest w podręczniku. Okres: 2 pi.
  
  sin 2x - okres pi, trzeba wykres sinusa zagęścić tak, że pierwsze maksimum wypada w pi/4, potem zero wypada w pi/2, minimum w 3/4 pi, kolejne zero w pi,
  i to powtarzać.
  
  sin 2x + 1/2 - okres pi. Poprzedni wykres przesuń o 1/2 w górę
  
  | sin 2x + 1/2 | - okres pi. Wykres sin 2x przesuń o 1/2 w górę. Następnie wszystkie fragmenty pod osią X odbij względem tej osi, jak w lustrze, tak, aby były nad osią.
  
  -------------------------------------
  
  4a.
  Skoro sin(...) = 1 to wyrażenie wewnątrz nawiasu jest równe pi/2 + 2k pi
  (k jest liczbą całkowitą)
  
  x - pi/6 = pi/2 + 2k pi ; więc x = 2/3 pi + 2k pi ;
  
  4b.
  Korzystamy z "jedynki trygonometrycznej" i zamieniamy kwadrat kosinusa na kwadrat sinusa. Wygląda to tak:
  
  2(1-\sin^2x) + \sin x - 2 = 2 -2\sin^2 x + \sin x - 2 = \sin x (-2\sin x + 1) = 0
  
  Mamy 2 przypadki:
  albo sin x = 0 co daje x = k pi
  albo sin x = 1/2 co daje kolejne 2 przypadki [ bo sin x = sin(pi - x) ]
  x = pi/6 + 2k pi lub x = 5/6 pi + 2k pi
  
  4c.
  Tangens pi/3 jest równy pierwiastek(3), ale tutaj mamy minus więc
  x należy do II lub IV ćwiartki i jest równe
  x = 2/3 pi + k pi lub x = 4/3 pi + k pi.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie