Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  antekL1 30.5.2012 (14:02)

  Da się rozwiązać, jeżeli podstawa graniastosłupa jest kwadratem, tzn. jeżeli jest to graniastosłup czworokątny PRAWIDŁOWY. (W przeciwnym razie nie wiadomo, o którą przekątną chodzi).
  
  Następujące odcinki:
  - przekątna podstawy (oznaczmy ją "d")
  - wysokość graniastosłupa (oznaczmy ją "h")
  - przekątna graniastosłupa (jest przeciwprostokątną - patrz niżej)
  tworzą trójkąt prostokątny.
  
  Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
  
  d^2 + h^2 = (\sqrt{392})^2 = 392
  
  Z drugiej strony pole podstawy to kwadrat jej przekątnej dzielony przez 2. Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość, stąd mamy drugie równanie:
  
  \frac{d^2}{2}\,h = 882 \qquad\mbox{zatem}\qquad d^2= \frac{2\cdot 882}{h} = \frac{1764}{h}
  
  Wstawiamy kwadrat d do pierwszego równania:
  
  \frac{1764}{h} + h^2 = 392
  
  Po pomnożeniu przez h obu stron dostajemy równane 3-go stopnia:
  
  h^3 - 392h + 1764 = 0
  
  Równanie to jest rozwiązywalne, ale nie na poziomie gimnazjum
  
  Rozwiązanie numeryczne daje 2 możliwości:
  h1 = około 4,778
  h2 = około 16,97
  
  Możemy sprawdzić, że wtedy pole podstawy (czyli połowa kwadratu d) wynosi;
  S1 = 882 / 4,778 = około 184,58 lub
  S2 = 882 / 16,97 = około 51,97
  wobec tego kwadraty d (do twierdzenia Pitagorasa to około
  369,17 lub 103,93
  i z twierdzenia Pitagorasa wychodzi:
  
  d^2 + h^2 = 369{,}17 + (4{,}778)^2 \,\approx\, 392 \qquad\mbox{lub}\qquad 103{,}93+(16{,}97)^2\,\approx\,392

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

• 

  0 0

  rybitwa11 30.5.2012 (14:52)

  wyjasnienia w załączniku

  Załączniki

  • rownania_kanoniczne_szescienne.jpg (797 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie