Treść zadania

Udowodnij, że jeżeli T: R^{n} \to R^{m} to odwzorowanie liniowe, to:

a) jeśli U jest podprzestrzenią R^{n} to T(U) jest podprzestrzenią R^{m}

b) jeśli V jest podprzestrzenią R^{m} to T(V) jest podprzestrzenią R^{n}


Mogę prosić o sprawdzenie czy ten dowód jest poprawny?

a)

1. T(U) \neq \emptyset bo z definicji odwzorowania: T(0_{n})=0_{m}

2. weźmy dowolne wektory u, v z U . wtedy T(u), T(v) \in T(U)

T(u)+T(v)=T(u+v) (z def. odwzorowania liniowego)
u+v \in U bo U podprzestrzeń
zatem T(u+v) \in T(U)

3. weźmy dowolny wektor u \in U oraz dowolny skalar \alpha \in R
T(u) \in T(U)
\alpha T(u)=T(\alpha u) \\
\alpha u \in U bo U to podprzestrzeń
zatem T(\alpha u) \in T(U)\\


b)

1. T(V) \neq \emptyset bo kerT(V) \subset T(V) czyli 0_{n} \in T(V)

2. T(u), T(v) \in T(V) \\
u, v \in V \\
T(u)+T(v)=T(u+v) \\
u+v \in V bo V podprzestrzeń \\
zatem T(u+v) \in T(V)

3. T(u) \in T(V), u \in V, \alpha \in R \\
\alpha T(u)=T(\alpha u) \\
\alpha u \in V bo V podprzestrzeń
T(\alpha u) \in T(V)