Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 7.5.2012 (15:00)

  1)
  Wzór ogólny tego ciągu to prawdopodobnie:
  
  a_n = \left(2^n +(-1)^n\frac{1}{2^n}\right)^2
  
  chyba, że znak minus w pierwszym nawiasie to pomyłka i 1/2^n to pomyłka?
  
  Po podniesieniu do kwadratu:
  
  a_n =2^{2n} +2\,(-1)^n + \frac{1}{2^{2n}} = 4^n + 2\,(-1)^n + \frac{1}{4^n}
  
  Wynik jest różny dla n parzystego i nieparzystego z powodu środkowego wyrazu, dającego na przemian sumę -2 lub zero. Ale pierwszy i ostatni wyraz można zsumować:
  
  \sum\limits_{n=1}^N 4^n = 4\frac{4^{N-1} - 1}{4-1} = \frac{4}{3}(4^{N-1}-1)
  
  \sum\limits_{n=1}^N \frac{1}{4^n} = \frac{1}{4}\frac{1-(1/4)^{N-1}}{1-1/4} = \frac{1}{3}\,(1-(1/4)^{N-1})
  
  Cała suma:
  
  S_N = \frac{4}{3}(4^N-1) + \frac{1}{3}\,\left(1-(1/4)^N\right) - 1 + (-1)^N
  
  Ostatni czynnik jest odpowiedzialny za odejmowanie (lub nie) -2 dla N nieparzystych/parzystych
  ======================
  
  2.
  Ustalmy, że 0,7(2) to rozwinięcie ułamka 13 / 18, jest to policzone na zdjęciu.
  Ponieważ liczby tworzą ciąg geometryczny to iloczyn sąsiednich jest równy kwadratowi środkowej
  (pierwsze równanie)
  
  ac = b^2
  
  Drugie równanie to suma liczb:
  
  a + b + c = 26
  
  Trzecie równanie to suma odwrotności:
  
  \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{13}{18}
  
  Z równań prawidłowo wnioskujesz, zakładając, że a,b,c są niezerowe:
  
  \frac{26}{b^2} = \frac{13}{18} \qquad\mbox{zatem}\qquad b = \pm 6
  
  Mamy 2 rozwiązania. Dla b = +6:
  a+c = 20
  ac = 36 czyli a(20 = a) = 36 stąd a1 = 2, a2 = 18 czyli c1 = 18 lub c2 = 2.
  
  Dla b = -6
  a+c = 32
  ac = 36 czyli a(32 = a) = 36 stąd
  a1 = 16 - 2*pierwiastek(-55); a2 = 16 + 2*pierwiastek(-55);
  c1 = 16 + 2*pierwiastek(-55); c2 = 16 - 2*pierwiastek(-55);
  
  Rozwiązaniami są następujące trójki liczb (a, b, c)
  (2, 6, 18),
  (18, 6, 2),
  (16 - 2*pierwiastek(-55), -6, 16 + 2*pierwiastek(-55)),
  (16 + 2*pierwiastek(-55), -6, 16 - 2*pierwiastek(-55))
  
  ======================
  
  Dwóch pozostałych nie mam w tej chwili czasu rozwiązywać, może powtórz zadanie ponownie?

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie