Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 0

  antekL1 26.3.2012 (15:11)

  W pierwszym zadaniu przy uwzględnieniu kolejności działań wychodzi:
  
  4x\,\left(x-\frac{1}{x}+2\right) = 4x^2 + 8x -4
  
  czyli zwykła parabola nieciągła dla x = 0. NA PEWNO o to chodzi?
  ==========================
  
  Zadanie 2. (tutaj jestem pewny postaci funkcji)
  
  y = \frac{x^2}{\ln x}
  
  Dziedzina: W mianowniku nie może być zera, czyli x różne od 1, pod logarytmem musi być liczba dodatnia czyli:
  
  x \in (0, +\infty) \backslash \{-1\}
  
  ================
  
  Miejsca zerowe: BRAK, jedyne możliwe x = 0 nie należy do dziedziny
  
  ================
  
  Asymptoty: Pionowa: x = 1, innej brak, gdyż dla dużych x granica:
  
  \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{\ln x} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{1/x} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty} 2x^3= +\infty
  
  (użyłem tw. de'Hospitala do wyznaczenia granicy, zróżniczkowałem licznik i mianownik po x, wolno mi, gdyż spełniają założenia twierdzenia.
  
  Pionowa asymptota powstaje gdyż dla x--> 1 licznik jest równy 1, mianownik staje się zerem.
  
  Przy okazji: granica f(x) w x = 0 wynosi zero, ale o to nie było pytania w zadaniu. Przydaje się do wykresu.
  
  ================
  
  Pochodna:
  
  f'(x) = \frac{x\,(-1+2\ln x)}{\ln^2 x}
  
  Licznik jest zerem albo dla x = 0 (odpada, poza dziedziną) albo dla
  
  ln x = 1/2 czyli x = pierwiastek(e); gdzie e - podstawa log. naturalnego.
  
  Bez liczenia: zauważ, że gdy ln x < 1/2 to licznik jest ujemny, a potem dodatni. Funkcja ma
  
  jedyne minimum dla x = pierwiastek(e)
  
  ================
  
  Monotoniczność:
  Mianownik pochodnej jest dodatni w całej dziedzinie.
  Licznik pochodnej jest ujemny aż do minimum więc funkcja jest:
  - malejąca w swojej dziedzinie aż do minimum
  - rosnąca od minimum do +oo
  
  ================
  
  Punkty przegięcia i wypukłość:
  Katuję program do symbolicznych obliczeń ale znajdę II pochodną.
  Po uproszczeniu wychodzi:
  
  f''(x) = \frac{1}{\ln x}\,\left( \frac{2}{\ln^2 x} - \frac{3}{\ln x} + 2\right)
  
  Podstawiając t = 1/ln x mamy równanie na zera II pochodnej:
  
  t\,(2t^2 -3t +2) = 0
  
  Nie ma rozwiązań, BRAK punktów przegięcia.
  
  Co do wypukłości to nigdy nie pamiętałem, która jest która, ale funkcja jest wypukła jednakowo w całej dziedzinie.
  
  ================
  
  Wykres - patrz załącznik.

  Załączniki

  • zadanie2.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie