Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 13.3.2012 (13:44)

  Zad. 16a)
  Tak, skala podobieństwa = 3 (pierwszego do drugiego).
  6 : 2 = 9 : 3 = 12 : 4 = 3
  
  Zad. 16b)
  Tak, skala podobieństwa = pierwiastek(3) (pierwszego do drugiego).
  
  \sqrt{3} : 1 = \sqrt{6} : \sqrt{2} = 3 : \sqrt{3} = \sqrt{3}
  
  Zad 17)
  Podobieństwo: W obu wypadkach trójkąty mają kąt prosty i jeden kąt wspólny (kąt przy A dla trójkątów ABC i ACD, kąt przy B dla trójkątów ABC i CBD). Skoro oba małe trójkąty są podobne do ABC to także są podobne do siebie.
  
  Obwód:
  Odcinek CD jako wysokość trójkąta ABC spełnia równość:
  (czytaj ^2 jako "do kwadratu")
  
  (CD)^2 = AD * BD czyli CD = pierwiastek(3*4) = pierwiastek(12)
  
  AC liczę z tw. Pitagorasa:
  AC = pierwiastek(4^2 + 12) = pierwiastek(28).
  
  Obwód = 4 + pierwiastek(12) + pierwiastek(28)
  
  Zad 18)
  To, że wysokość dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1 : 2, a przeciwprostokątna ma długość 6 oznacza, że te odcinki mają długość 2 i 4. Ich iloczyn jest kwadratem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną (CD w poprzednim zadaniu), czyli wysokość jest równa
  
  CD = pierwiastek(2*4) = pierwiastek(8)
  
  a pole trójkąta = pierwiastek(8) * 6 / 2 = 3 * pierwiastek(8).
  
  Oznaczam przyprostokątne przez x, y.
  
  Z pola trójkąta x * y / 2 = 3 * pierwiastek(8), czyli x * y = 6 * pierwiastek(8).
  
  Z ostatniego równania: y = 6 * pierwiastek(8) / x. Wstawiam do tw. Pitagorasa i z warunku:
  
  x^2 + y^2 = 6^2
  
  dostaję równanie dwukwadratowe:
  
  x^2 + 36 * 8 / x^2 = 36 ; stąd x^4 - 36 x^2 + 288 = 0.
  
  Podstawiam x^2 = t, czyli: t^2 - 36t + 288 = 0
  To równanie ma 2 rozwiązania: t1 = 12, t2 = 24
  
  Wobec tego x1 = pierwiastek(12) lub x2 = pierwiastek(24) , co daje:
  y1 = pierwiastek(24) lub y2 = pierwiastek(12)
  
  Oczywiście dostałem "wymienne" rozwiązanie (x1 = y2 oraz x2 = y1), długości przyprostokątnych to:
  pierwiastek(12) oraz pierwiastek(24)
  
  Zad 19).
  To jest odwrócenie zadania 18.
  Przez x, y oznaczam szukane długości odcinków, takich, jak AD i DB w zadaniu 17.
  Iloczyn tych odcinków daje kwadrat wysokości, a suma długość przeciwprostokątnej.
  Przeciwprostokątna z tw. Pitagorasa ma długość:
  
  pierwiastek(5 + 4*5) = pierwiastek(25) = 5, czyli
  
  x + y = 5
  
  Pole trójkąta wynosi : 2 * (pierwiastek(5))^2 / 2 = 5.
  wobec tego wysokość to 2 * 5 / 5 = 2. Jej kwadrat to x * y czyli
  
  x * y = 4
  
  Z równania na sumę x + y mama y = 5 - x, wstawiam do równania na iloczyn:
  
  x (5-x) = 4 ; stąd x1 = 1 lub x2 = 4, co daje y1 = 4 lub y2 = 1.
  
  Szukane długości to 1 oraz 4

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie