Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 12.2.2012 (21:13)

  Do wszystkich zadań: Suma Sn pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego którego pierwszy wyraz wynosi a1, oraz różnica wynosi r:
  
  S_n = \sum\limits_{k=1}^n = n a_1 + \frac{n(n-1)r}{2} = \frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}
  
  Kolejne zadania:
  
  1)
  Liczby zaczynamy od 2 a kończymy na 148 (NIE liczy się już 150).
  Takich liczb jest: n = (148 - 2) / 2 + 1 = 74. Poza tym: a1 = 2, r = 2.
  Suma z końcowej postaci wzoru powyżej wynosi:
  
  S_{74} = \frac{(2+148)\cdot 74}{2} = 5550
  
  2)
  n = 30, a1 = 1, r = 3. Ze środkowej postaci wzoru na sumę:
  
  S_{30} = 30\cdot 1 + \frac{30\cdot (30-1)\cdot 3}{2} = 1335
  
  3)
  Pierwsza taka liczba to 5, następna 12, potem 19 itd.
  Ostatnia, jak można sprawdzić dzieląc przez 7, to 243 (bo 250 już nie).
  Liczb tych jest n = (243-5)/7 + 1 = 35
  
  Suma z końcowej postaci wzoru powyżej wynosi:
  
  S_{35} = \frac{(5+243)\cdot 35}{2} = 4340
  
  4)
  Można sobie poradzić tak: obliczyć sumę wszystkich kolejnych liczb naturalnych od 10 do 99 (jest ich n = 99-10 + 1 = 90) i odjąć sumę dwucyfrowych podzielnych przez 3. Pierwsza taka liczba to 12, ostatnia to 99 więc liczb jest N = (99-12)/3 + 1 = 30.
  
  Różnica obu sum wynosi (z końcowej postaci wzoru powyżej)
  
  S_n - S_N = \frac{(10+99)\cdot 90}{2} - \frac{(12+99)\cdot 30}{2}= 3240
  
  5)
  Posługuję się środkową postacią wzoru na sumę.
  a1 = 3, nieznane jest "r", ale wiem, że:
  
  S_3 = \frac{3}{7}\,S_5
  
  co daje po wstawieniu wzorów na sumę:
  
  3\cdot 3 + \frac{3(3-1)\cdot r}{2} = \frac{3}{7}\cdot \left(5\cdot 3 + \frac{5(5-1)\cdot r}{2}\right)
  
  Rozwiązanie tego równania daje r = 2, więc ciąg to:
  
  3, 5, 7, 9, 11.
  
  Sprawdzenie: 3+5+7 = 15 ; 3+5+7+9+11 = 35. Faktycznie: 15/35 = 3/7.
  
  6a)
  Pierwszy wyraz a1 = 7 gdy podstawiam n=1 do warunku zadania.
  Aby znaleźć r rozwiązuję równanie Sn = 7n^2 czyli:
  
  7n + \frac{n(n-1)r}{2} = 7n^2
  
  Jedynym r spełniającym równanie jest r = 14.
  
  
  6b)
  Analogicznie: Dla n = 1 mam a1 = 8, i rozwiązuję równanie:
  
  8n + \frac{n(n-1)r}{2} = 5n^2 + 3n
  
  Wychodzi r = 10.
  
  7)
  A tutaj można już wprost napisać układ równań
  
  a_1 + 2r + a_1 + 4r = 22
  a_1 + 3r + a_1 +9r = 40
  
  i rozwiązać ten układ. Wychodzi: a1 = 2 ; r = 3
  
  Sprawdzam: a3 = 8, a5 = 14, a4 = 11, a10 = 29
  a3+a5 = 22 oraz a4+a10 = 40

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie