Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 8.10.2011 (11:08)

  Tak się zastanawiam, jak najmniej się naliczyć... Może tak:
  Skoro 2 * alfa + beta sumują się do 90 stopni to powinna zachodzić równość:
  
  sin(2*alfa) = cos(beta) (równanie numer 1)
  
  Jeśli udowodnię (1) i pokażę, że alfa, beta są mniejsze od 90 stopni to rozwiążę zadanie.
  
  Obliczam sin(2 * alfa) = 2 * sin(alfa) * cos(alfa)
  
  Potrzebny mi cos(alfa)
  
  \cos\alpha = \sqrt{1-sin^2\alpha} = \sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \frac{3}{\sqrt{10}}
  
  i cały iloczyn:
  
  \sin(2\alpha) = 2\,\frac{1}{\sqrt{10}}\,\frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3}{5}
  
  Teraz kosinus beta:
  
  \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{1+tg^2\beta}} = \frac{1}{\sqrt{1+(4/3)^2}} = \frac{3}{5}
  
  TAK! Wychodzi na to samo, równanie (1) JEST spełnione.
  Zaznaczam: Równanie (1), jeżeli okazuje się prawdziwe dla kątów ostrych dowodzi, że suma tych kątów wynosi 90 stopni.
  
  Ciąg dalszy:
  Beta jest kątem ostrym z założenia.
  Skoro sin(2*alfa) jest dodatni (*) to 2*alfa jest mniejsze równe 180, czyli alfa jest mniejsze od 90 stopni, czyli jest kątem ostrym. (Nie może być równe 90, bo jeszcze ma być miejsce na kąt beta).
  Wobec tego obliczenia powyżej są prawdziwe dla kątów ostrych, a z równania (1) wynika teza zadania.
  
  (*) W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus. W trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus. Ten wierszyk ułatwia zapamiętanie znaków funkcji trygonometrycznych.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie