Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 3.10.2011 (11:22)

  Używam: x^3 - znaczy "x do potęgi 3 itp.
  W zasadzie jedyną na poziomie szkoły średniej metodą jest zgadywanie jednego (lub więcej) z rozwiązań.
  Jak się uda zgadnąć wszystkie to odpada dzielenie wielomianu 3-stopnia przez X - X1, gdzie X1 jest pierwszym zgadniętym rozwiązaniem. Szczegóły - patrz (A) niżej.
  
  A) x^3 -4x +3
  Szukam rozwiązań wśród podzielników wyrazu wolnego, czyli "3". Sprawdzam, czy dla
  x = 1, -1, 3, -3 wielomian nie jest zerem. Okazuje się, że jest, dla x = 1.
  Teraz są 2 drogi:
  1: Podzielić x^3 -4x +3 przez (x - 1). Długie i niemiłe
  2: Zapisać x^3 -4x +3 jako (x - 1) * (x^2 + bx -3). Wymnożyć to wyrażenie i obliczyć "b".
  (x - 1) * (x^2 + bx -3) = x^3 + (b - 1) x^2 - ( b + 3) x + 3
  Porównuję teraz wyrażenia przy tych samych potęgach x:
  Przy x^2: 0 = b - 1
  Przy x: 4 = b + 3
  Z obu wypada, że b = 1, więc: x^3 -4x +3 = (x - 1) * (x^2 + x - 3)
  Ten sposób, mimo że prostszy niż (1), wymaga nieco intuicji i wytłumaczenia, dlaczego napisałem:
  (x - 1) * (x^2 + bx -3), a nie np: (x - 1) * (Ax^2 + Bx + C) ???
  Dlatego, że współczynnik przy x^3 jest = 1, więc A = 1 i mam je z głowy.
  Poza tym wyrazy "wolne" iloczynu mają dawać -3, więc C = -3.
  Dlatego proponowałem: (x - 1) * (x^2 + bx -3)
  
  To jeszcze nie koniec rozwiązania, bo (x^2 + x - 3) też może dać się rozłożyć.
  Sprawdzam, czy równanie: x^2 + x - 3 = 0 ma pierwiastki.
  Niestety, ma, wyróżnik delta = 1^2 - 4 * 1 * (-3) = 13.
  Obliczam x2, x3, jako rozwiązania rownania kwadratowego x^2 + x - 3 = 0
  i dostaję ostatecznie:
  
  x^3 -4x +3 = (x-1)(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})
  
  B) x^3 +2x^2 -3
  Zgaduję jedno rozwiązanie: x = 1.
  x^3 +2x^2 -3 = (x - 1) * (x^2 + 3x + 3)
  I to koniec, bo wielomian w drugim nawiasie NIE ma rzeczywistych pierwiastków
  (wyróżnik delta = 9 - 12 = -4, ujemny)
  
  C) x^3 -4x^2 +5x -2
  Możesz zastosować jedną z 2 podanych wyżej metod, albo metodę:
  Sposób 3 - użyć bezpłatnego programu Maxima (co robię - dla sprawdzenia).
  x^3 -4x^2 +5x -2 = (x-2) * (x-1)^2
  
  D) x^3 -5x^2 +2x +8 = (x - 4) (x - 2) (x + 1)
  
  E) 6x^3 -2x^2 -9x +3
  = (3x - 1) \cdot (2x^2 - 3) = (3x-3)\cdot(x\sqrt{2} - \sqrt{3})\cdot(x\sqrt{2} + \sqrt{3})
  To, czy ten pierwiastek z 2 oraz 3 przed "3x" wyciągnąć przed wszystkie nawiasy - zależy od gustu nauczyciela. Nie mogę decydować.
  Jakbym ja był belfrem, to jedynie bym poprosił o sprawdzenie, czyli o wymnożenie wszystkich 3 nawiasów :)
  
  F) 4x^3 –x^2 -4x +1 = (x - 1) (x + 1) (4 x - 1)
  Metoda - zgadywanka, x = 1, x = -1.
  Trzeci wyraz: (ax - 1)(x^2 - 1) = 4x^3 –x^2 -4x +1 ; więc a = 4
  
  G) 2x^4 -3x^3 -2x^2 +3x
  Po pierwsze: x przed nawias: 2x^4 -3x^3 -2x^2 +3x = x * (2x^3 -3x^2 -2x +3)
  alej jak poprzednio. Wynik:
  x * (x-1) * (x + 1) * (2x - 3)
  Uwagi: Po zgadywance "x = 1, x = -1" sposób jak w F.
  
  H) x^5 -3x^4 –x^3 +3x^2 -6x +18
  Zgadywanka wśród podzielników 18 daje rozwiązanie x = 3.
  x^5 -3x^4 –x^3 +3x^2 -6x +18 = (x - 3)* (x^4 - x^2 - 6).
  ten ostatni nawias, jak się podstawi x^2 = y, to zapisuje się:
  y^2 - y - 6 = (po rozwiązaniu równania kwadratowego) = (y + 2)(y-3)
  i wracając do x^2:
  H = (x-3)(x^2-3)(x^2 + 2)
  Ostatni nawias trzeba zostawić jak jest (brak rozwiązań x^2 + 2 = 0), całość:
  
  H = (x-3)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+2)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie