Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 28.9.2011 (12:30)

  NIe wiem, czy to jest najprostsze rozwiązanie i czy nie wyprowadzam wzorów, podanych w szkole.
  
  Zrób rysunek, abyśmy mówili o tych samych wielkościach.
  AB jest przeciwprostokątną trójkąta. C jest wierzchołkiem przy kącie prostym,
  Dwusieczna kąta prostego przecina AB w punkcie D.
  Oznaczam standardowo: a = BC, b = AC, c = AB.
  Odcinek CD (fragment dwusiecznej wewnątrz trójkąta) oznaczam x.
  Dążę do obliczenia boków a, b, c trójkąta. Gdy je znajdę skorzystam ze związków na promienie okręgów wpisanego (r) i opisanego (R). Niech pole trójkąta wynosi S. Ponieważ:
  
  R = \frac{c}{2} \qquad \mbox{oraz} \qquad r = \frac{2 S}{a + b + c}
  to:
  \frac{R}{r} = \frac{ \frac{c}{2}}{\frac{2 S}{a + b + c}} = \frac{c(a+b+c)}{4S} = \frac{c(a+b+c)}{2ab}
  
  Długość boku c w jakichś jednostkach wynosi 7L. Siedem dlatego, że dwusieczna dzieli go w stosunku 3:4, wobec tego: AD = 3L, DB = 4L. Jak wyznaczę a, b w jednostkach L to "L" mi się skróci we wzorze na stosunek promieni.
  
  Kąt przy wierzchołku A oznaczam standardowo alfa, kąt przy B - beta. Oczywiście beta = 90 - alfa.
  Dla trójkąta ADC z tw. sinusów mam równość:
  
  \frac{\sin\alpha}{x} = \frac{\sin\,45}{3L}
  
  Dla trójkąta BDC mam analogiczną równość:
  
  \frac{\sin\beta}{x} = \frac{\sin\,45}{4L}
  
  Dzielę powyższe równania stronami, aby się pozbyć "x" i znaleźć tangens alfa (pamiętaj że tutaj sinus beta = kosinus alfa, bo beta = 90 - alfa.
  
  \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = tg\alpha = \frac{x\,\frac{\sin\,45}{3L}}{x\,\frac{\sin\,45}{4L}}=\frac{4}{3}
  
  Jak mam tangens alfa to mogę wyrazić a, b przez c. Związki tangensa z sin i cos są w podręczniku.
  
  a = c\cdot\cos\alpha = 7L\cdot\frac{1}{\sqrt{1+tg^2\alpha}} = 7L\cdot\frac{4}{3} = \frac{28}{3}\,L
  
  oraz
  
  b = c\cdot\sin\alpha = 7L\cdot\frac{tg\alpha}{\sqrt{1+tg^2\alpha}} = 7L\cdot\frac{4}{5} = \frac{28}{5}\,L
  
  Pozostaje wstawić a, b, c do wzory na R / r
  
  \frac{R}{r} = \frac{7L\cdot (\frac{28}{3}\,L+\frac{28}{5}\,L+7L)}{2\cdot\frac{28}{3}\,L\cdot\frac{28}{5}\,L} = \frac{47}{32}
  
  Sprawdź, bo mogłem się rąbnąć w tych ułamkach!
  
  Pozdrowienia - Antek
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie