Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 28.9.2011 (13:35)

  Wzór na kapitał Kn po n latach gdy procent wynosi r, początkowy kapitał = K0
  
  K_n = K_0\,(1 + r)^n
  
  1) Ze wzoru powyżej dla r = 4% (czyli 1 + r = 1,04) oraz n = 10
  
  K_n = K_0\,(1{,}04)^{10} = 1{,}48024\cdot K_0
  
  W odwrotnej sytuacji (r = 10% więc 1 + r = 1,1 oraz n = 4)
  
  K_n = K_0\,(1{,}1)^4 = 1{,}4641\cdot K_0
  
  Lepsza jest wersja 4% przez 10 lat.
  
  2) Nie wiem, czy bank odlicza podatek po każdych 3 miesiącach, czy po roku. Jeśli co 3 miesiące to Nowak z kapitałem K0 = 10000 po 3 miesiącach miał:
  10000 * (1 + r)
  (tutaj r to procent kapitalizacji po 3 miesiącach, NIE po roku).
  Jego dochód to 10000 * (1 + r) - 10000 = 10000 * r.
  18% zabrał fiskus, zostało 82% (czyli 0,82) dochodu. Nowak miał:
  0.82 * 10000 * r + 10000 = 10000 * (1 + 0.82 * r)
  
  Ta sytuacja powtórzyła się 8 razy (2 lata = 24 miesiące, dzielone na 3 daje 8)
  Więc:
  10000 * (1 + 0.82 * r)^8 = 12146,04
  Czyli 1 + 0,82 * r = pierwiastek 8 stopnia(12146,04 / 10000) = 1,0246
  
  Wobec tego r = (1,0246 - 1) / 0,82 = 0,03 (tzn 3% na 3 miesiące).
  
  Niby odpowiada to 4 * 3 = 12% w skali roku (pewnie bank taką ofertę składa) choć powinno być:
  (1 + 0,03)^4 = 1,12551 czyli 12,551 % w skali roku. Nie wiem, jak banki to liczą - podaj obie możliwości w rozwiązaniu.
  
  Jeżeli podatek jest odliczany raz w roku, to obliczenia są bardziej skomplikowane, gdyż dochód z K0 = 10000 po roku wynosi:
  K0 * (1 + r)^4 - K0
  Oznaczę (1 + r)^4 przez R, aby tyle nie pisać. Dochód = K0 * (R - 1).
  Po odjęciu podatku:
  Dochód = 0,82 * K0 * (R - 1)
  Cały kapitał na początku następnego roku:
  K1 = K0 + 0,82 * K0 * (R - 1) = K0 * (0,18 + 0,82 * R)
  
  Na koniec drugiego roku kapitał = K2 = K1 * R; dochód = K1 * (R - 1)
  Po odliczeniu podatku: dochód = 0,82 * K1 * (R - 1)
  i cały kapitał 12146,04 = K1 + 0,82 * K1 * (R - 1) = K1 * (0,18 + 0,82 * R)
  
  Podstawiam K1 ze wzoru powyżej, K0 = 10000
  12146,04 = 10000 * (0,18 + 0,82 * R)^2 ; więc:
  R =[ pierwiastek(12146,04/10000) - 0,18 ] / 0,82 = 1,1245
  
  Skoro R = (1+r)^4 to:
  r = pierwiastek 4 stopnia z 1,1245 - 1 = około 0,0298 czyli 2,98%.
  
  Niewielka różnica w stosunku do poprzednich 3%.
  Oczywiście jest to oprocentowanie 3-miesięczne, w skali roku trzeba zrobić te same obliczenia, co poprzednio, czyli albo 4 * r, albo (1+r)^4.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie