Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 25.9.2011 (11:10)

  Zad 1.
  
  Wzór na podnoszenie sumy a + b do potęgi 3.
  (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3
  Z tego wzoru liczę wszystkie przykłady.
  
  a) Tutaj a = 1, b = pierwiastek(2)
  \left(1 + \sqrt{2}\right)^4 = 1 + 3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2} + 3\cdot 1\cdot \left(\sqrt{2}\right)^2 + \left(\sqrt{2}\right)^3 =
  Ponieważ kwadrat pierwiastka z 2 to dwa, a sześcian tego pierwiastka to kwadrat pierwiastka razy pierwiastek; prawą stronę powyższego wyrażenia da się jeszcze uprościć:
  = 1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}
  
  b) Tutaj: a = 1, b = MINUS pierwiastek z dwóch
  \left(1 - \sqrt{2}\right)^4 = 1 + 3\cdot 1^2\cdot (-\sqrt{2}) + 3\cdot 1\cdot \left(-\sqrt{2}\right)^2 + \left(-\sqrt{2}\right)^3 =
  Z powodów jak wyżej:
  = 1 - 3\sqrt{2} + 6 - 2\sqrt{2} = 7 - 5\sqrt{2}
  
  
  c) Tutaj a = pierwiastek z trzech; b = MINUS 1
  \left(\sqrt{3} - 1\right)^3 = \left(\sqrt{3}\right)^3 + 3\cdot \left(\sqrt{3}\right)^2\cdot (-1) + 3\cdot \sqrt{3}\cdot(-1)^2 + (-1)^3 =
  Sześcian pierwiastka z 3 to 3 * pierwiastek(3). Kwadrat tego pierwiastka to 3.
  = 3\sqrt{3} - 9 + 3\sqrt{3} -1 = 6\sqrt{3} - 10
  
  
  d) Tutaj a = 2 ; b = pierwiastek z trzech
  \left(2 + \sqrt{3}\right)^3 = 2^3 + 3\cdot 2^2\cdot \sqrt{3}+ 3\cdot 2 \cdot\left(\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^3 =
  Z powodów jak wyżej:
  = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}
  
  Zad. 2.
  
  a) w(x) = -27 x^6 + 12 x^2 + 6x
  Mogę wyłączyć 3x przed nawias: w(x) = 3x * (-9 x^5 + 4 x + 2)
  Wyrażenie w nawiasie, porównywane do zera, ma pierwiastek w okolicy x = około 0.910881, ale można go znaleźć jedynie graficznie, rysując wykres. Metodami szkoły średniej nic więcej nie da się zrobić.
  
  b) w(x) = 1/4 * x^5 + x^3 + x
  Można wyłączyć 1/4 x przed nawias: w(x) = 1/4 x * (x^4 + 4x^2 + 4)
  Wyrażenie w nawiasie można spróbować przedstawić jako tzw "równanie dwukwadratowe", podstawiając y = x^2. Próbuję rozwiązać równanie:
  y^2 + 4y + 4 = 0.
  Wyróżnik = 4^2 - 4*4 = 0.Istnieje jedno rozwiązanie y = 2, czyli:
  y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2, co w języku x znaczy:
  w(x) = 1/4 x * (x^2 + 2) * (x^2 + 2). Dalej nic się nie da zrobić.
  
  c) w(x) = 4 x^3 - 1/9 x
  Wyłączam 4x przed nawias: w(x) = 4x * (x^2 - 1/36)
  Wyrażenie w nawiasie rozpisuję za pomocą wzoru: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2
  w(x) = 4x * (x + 1/6) * (x - 1/6)
  
  d) w(x) = 16 x^5 - 4 x^3
  Sześcian x i czwórkę można wyłączyć przed nawias:
  w(x) = 4x * x * x * (4x^2 - 1)
  Wyrażenie w nawiasie traktuję jak poprzednio:
  w(x) = 4 * x * x * x * (2x + 1) * (2x - 1)
  
  
  e) w(x) = 2 x^4 - 6 x^2
  Kwadrat x i dwójka przed nawias:
  w(x) = 2x * x * (x^2 - 3)
  Wyrażenie w nawiasie - jak poprzednio, a = 1, b = pierwiastek(3)
  w(x) = 2x * x * (x + pierwiastek(3)) * (x - pierwiastek(3))
  
  Zad 3.
  Nie rozumiem, o co chodzi w tym "przykładzie". Ale w zadaniu chodzi chyba o wykonanie mnożeń nawiasów ?
  
  a) (5x+3) (25 x^2 + 15 x + 9) [dobrze przepisałem ?]
  Mnożę 5x przez cały nawias po prawej stronie i dodaję 3 mnożone przez ten nawias:
  = 5x * (25 x^2 + 15 x + 9) + 3 * (25 x^2 + 15 x + 9)
  = (125 x^3 + 75 x^2 + 45 x) + (75 x^2 + 45 x + 27)
  Teraz dodaję współczynniki przy tych samych potęgach x:
  = 125 x^2 + (75 + 75) x^2 + (15 + 45) x + 27
  = 125 x^3 + 150 x^2 + 90 x + 27
  
  b) (6-3x) (36+18x+9x^2). Postępuję jak wyżej. Zanotuj, że minus jest przed całym nawiasem.
  = 6 * (36+18x+9x^2) - 3x * (36+18x+9x^2)
  = (216 + 108 x + 54 x^2) - (108 x + 54 x^2 + 27 x^3)
  = -27 x^3 + (54 - 54) x^2 + (108 - 108) x + 216
  = -27 x^3 + 216
  
  c) (5x-1) (1 + 5x) + (2+3x)^2
  Nawias do kwadratu podnoszę, używając wzoru (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
  Tutaj a = 2, b = 3x
  Iloczyn dwu pierwszych nawiasów to (c+d)(c-d) = c^2 - d^2
  Tutaj c = 5x, d = 1 [ mogę te nawiasy zapisać tak: (5x + 1)(5x - 1) ]
  = (25 x^2 - 1) + (4 + 12 x + 9 x^2)
  = 34 x^2 + 12 x + 3

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie