Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 22.9.2011 (02:48)

  Nikt się za to fajne zadanie nie zabiera, to się pobawię :)
  Potrzebne mi są 4 dodatkowe twierdzenia. Trzy pierwsze były pewnie w szkole, nie pamiętam.
  
  Przede wszystkim określenie:
  Liczba wymierna to taka, którą daje się zapisać w postaci nieskracalnego ułamka a / b, gdzie a oraz b są liczbami całkowitymi i oczywiście b jest różne od zera.
  
  Twierdzenie 1.
  Suma liczby niewymiernej x i wymiernej a / b jest niewymierna
  
  Dowód przez sprowadzenie do absurdu. Załóżmy, że ta suma jest wymierna, daje się więc zapisać jako ułamek liczb całkowitych c / d, gdzie d jest niezerowe.
  x + \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
  ale wtedy:
  x = \frac{c}{d} - \frac{a}{b} = \frac{bc - ad}{bd} = \frac{m}{n}
  Licznik i mianownik ułamka po prawej stronie jest całkowity, mianownik jest niezerowy, gdyż ani b, ani d nie są zerem, wobec tego x jest liczbą wymierną. SPRZECZNOŚĆ z założeniem o niewymierności x, co dowodzi twierdzenia. Ostatni ułamek m / n napisałem na wszelki wypadek, gdyby poprzedni się upraszczał. m / n nie da się już uprościć.
  
  Twierdzenie 2.
  Iloczyn liczby niewymiernej x i wymiernej a / b jest niewymierny, pod warunkiem, że a / b nie jest zerem (czyli ani a, ani b nie jest zerem)
  
  Dowód przez sprowadzenie do absurdu. Załóżmy, że ten iloczyn jest wymierny, daje się więc zapisać jako ułamek liczb całkowitych c / d, gdzie c oraz d są niezerowe. (d nie może być równe zero z określenia liczby wymiernej, c nie może być równe zero, bo po lewej stronie równania są liczby niezerowe).
  x \cdot \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
  ale wtedy:
  x = \frac{c}{d} \cdot \frac{b}{a} = \frac{bc}{ad} = \frac{m}{n}
  Licznik i mianownik ułamka po prawej stronie jest całkowity, mianownik i licznik są niezerowe, gdyż ani a,ani b, ani c, ani d nie są zerem, wobec tego x jest liczbą wymierną. SPRZECZNOŚĆ z założeniem o niewymierności x, co dowodzi twierdzenia. Uwaga o m / n jak poprzednio.
  
  Twierdzenie 3.
  Pierwiastek z liczby niewymiernej x jest niewymierny.
  Dowód przez sprowadzenie do absurdu. Załóżmy, że ten pierwiastek jest wymierny, daje się więc zapisać jako ułamek liczb całkowitych a / b, gdzie a oraz b są niezerowe.
  \sqrt{x} = \frac{a}{b}
  Podnoszę obie strony do kwadratu:
  x = \frac{a^2}{b^2}
  Ale ułamek po prawej stronie jest wymierny, co oznacza, że x jest wymierne. SPRZECZNOŚĆ - co dowodzi twierdzenia.Ułamek ten jest też nieskracalny gdyż a / b było nieskracalne.
  
  Twierdzenie 4.
  Pierwiastek z 6 jest niewymierny.
  
  (tego mogło nie być w szkole, ale na pewno był dowód, że pierwiastek z 2 jest niewymierny. Ten dowód jest podobny). Znowu przez sprowadzenie do absurdu.
  
  Powiedzmy, że pierwiastek z 6 jest wymierny, daje się więc zapisać w postaci nieskracalnego ułamka a / b, gdzie a, b są całkowite oraz niezerowe.
  \sqrt{6} = \frac{a}{b}
  Podnoszę obie strony do kwadratu
  6 = \frac{a^2}{b^2}
  Mnożę obie strony przez 6
  6b^2 = a^2
  Skoro kwadrat a jest równy 6 * kwadrat b, to jest liczbą parzystą (gdyż niezależnie od parzystości b po pomnożeniu przez parzyste 6 mam parzysty wynik. Ale parzysty kwadrat oznacza, ze a jest parzyste.
  Wobec tego mogę zapisać a jako: a = 2 * c. Wstawiam to do poprzedniego równania jako 4 * kwadrat c i dzielę obie strony przez 2.
  3b^2 = 2c^2
  Teraz prawa strona jest parzysta, wiec lewa też. Ale 3 jest nieparzyste, aby lewa strona była parzysta to kwadrat b też musi być parzysty więc b jest parzyste.
  Wynika z tego, że zadrówno a, jak i b są parzyste. Ale to przeczy założeniu, że ułamek a / b był nieskracalny! SPRZECZNOŚĆ - co dowodzi twierdzenia.
  
  Dalej już jest z górki. Podnoszę sumę pierwiastków do kwadratu:
  \left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 2\cdot\sqrt{6} + 5
  Ponieważ z twierdzenia (4) wynika, że pierwiastek z 6 jest niewymierny to korzystając z twierdzeń (1) i (2) wnioskuję, że całe wyrażenie jest niewymierne. Skoro tak, to na podstawie twierdzenia (3) pierwiastek z niego, czyli właśnie suma pierwiastek(2) + pierwiastek(3) jest niewymierna.
  
  Pozdro = Antek
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie