Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  gosia1977 30.5.2011 (13:02)

  n^3-n = (n-1)n(n+1)
  Mamy więc mnożenie trzech kolejnych liczb całkowitych i:
  -jedna z nich jest podzielna przez 3
  -min. jedna z nich jest podzielna przez 2
  Liczba jest podzielna przez 6, gdy dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3, zatem n^3-n jest podzielne przez 6. c.n.d. ?
  
  lub indukcja matematyczna
  
  
  Mamy:
  
  n^3-n
  
  1.Na początku sprawdzamy dla n=1:
  1^3-1 = 0
  0 dzieli się przez 6.
  
  2.Założenie indukcyjne: n^3-n = 6k
  Teza: robie podstawienie n=n+1 i sprawdzam czy teza bedzie rowniez prawdziwa, przy zalozeniu ze prawda jest n^3-n = 6k
  
  (n+1)^3 - (n+1) = n^3+3n^2+3n+1-n-1 = n^3+3n^2+2n = n^3-n+3n^2+3n
  
  n^3-n jest podzielne przez 6 zgodnie z założeniem, więc mamy:
  
  6k + 3n^2+3n = 6k + 3n(n+1), liczby k, n e N
  
  Aby 3n(n+1) było podzielne przez 6, n(n+1) musi być podzielne przez 2, to wyrażenie będzie podzielne przez 2, ponieważ jest to iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych, w którym zawsze znajdzie się jedna liczba parzysta. CND.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie