Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  gosia1977 25.5.2011 (22:41)

  x^4 - 5x^3 - 4x^2 +44x - 48 = 0
  
  Pierwiastkami wielomianu moga byc podzielniki wyrazu wolnego, czyli w tym przypadku liczby -48
  podzielnikami liczby -48 sa liczby -1,1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,8,-8,12,-12,16,-16,24,-24,48,-48 - chyba wszystkie
  trzeba sprawdzic kazda z tych liczb podstawiajac je za x, dopoki z rownania nie otrzymamy 0
  
  1 i -1 odpadaja, bo nie daja zera
  dla 2 mamy 16-40-16+88-48=0
  oznacza to ze wielomian W(x)=x^4 - 5x^3 - 4x^2 +44x - 48 dzieli sie bez reszty przez dwumian (x-2)
  
  .x^3 - 3x^2 - 10x + 24
  -------------------------------------------
  (x^4 - 5x^3 - 4x^2 +44x - 48) : (x-2)
  .x^4 - 2x^3
  ------------------------ odejmmujemy
  === - 3x^3 - 4x^2
  .......- 3x^3 +6x^2
  ------------------------------
  ..........=== -10x^2 + 44x
  .................-10x^2 + 20x
  -----------------------------------
  ..................===== 24x - 48
  ...............................24x - 48
  ------------------------------------
  .......................................===
  
  czyli
  x^4 - 5x^3 - 4x^2 +44x - 48=(x^3 - 3x^2 - 10x + 24)(x-2)
  
  rozkladam x^3 - 3x^2 - 10x + 24
  znowu szukam pierwiastkow wsrod podzielnikow wyrazu wolnego, czyli liczby 24
  
  dla 1 i -1 sie nie zgadza
  dla 2 mamy
  8-12-20+24=0
  
  czyli x^3 - 3x^2 - 10x + 24 dzieli sie bez reszty przez x-2
  
  .x^2 - x - 12
  ------------------------------------------
  (x^3 - 3x^2 - 10x + 24) : (x-2)
  .x^3 - 2x^2
  ----------------------
  === - x^2 - 10x
  .......- x^2 + 2x
  --------------------------
  ...........== - 12x + 24
  ................ -12x + 24
  ---------------------------
  .............................==
  
  czyli
  x^3 - 3x^2 - 10x + 24=(x^2 - x - 12)(x-2)
  czyli
  x^4 - 5x^3 - 4x^2 +44x - 48=(x^3 - 3x^2 - 10x + 24)(x-2)=(x^2 - x - 12)(x-2)(x-2)
  
  wystarczy rozlozyc teraz x^2 - x - 12
  
  delta=1+48=49
  x1=1-7 / 2=-3
  x2=1+7 / 2=4
  
  czyli
  x^2 - x - 12=(x+3)(x-4)
  
  a stad
  x^4 - 5x^3 - 4x^2 +44x - 48=(x^3 - 3x^2 - 10x + 24)(x-2)=(x^2 - x - 12)(x-2)(x-2)=(x+3)(x-4)(x-2)(x-2)
  
  czyli
  x^4 - 5x^3 - 4x^2 +44x - 48=0 oznacza, ze
  (x+3)(x-4)(x-2)(x-2)=0
  a stad
  x+3=0 lub x-4=0 lub x-2=0
  x=-3 lub x=4 lub x=2 - pierwiastek podwojny

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie