Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.5.2011 (23:10)

  Zad 1.
  Jest to czworościan prawidłowy (wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi).
  Przetnij go płaszczyzną prostopadłą do podstawy, przchodzącą przez wierzchołek przeciwległy do podstawy i przez wysokość podstawy.
  Na tym przekroju nawysuj wysokość czworościanu. Tworzy się prostokątny trójkąt.
  Przeciwprostokątna to krawędź czworościanu
  Jedna przyprostokątna to wysokość czworościanu H
  Druga przyprostokątna to 2/3 wysokości podstawy.
  Z tw. Pitagorasa:
  H^2 = 9^2 - \left(\frac{2}{3}\cdot 9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 81 - 27 = 54
  Wobec tego wysokość H = 3\sqrt{6}
  
  Zad 2. Z warunków zadania wynika, że promień podstawy r jest równy:
  r = 8 * ctg 30 = 8 * pierwiastek(3). Objętość:
  V = \frac{1}{3}\cdot (8\sqrt{3})^2\cdot 8 = 512
  
  Zad 3. Pole powierzchni całkowitej = 2 pola podstawy + 3 pola ścianki.
  Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a = 2 cm
  Oznaczam wysookość przez H
  Pole ścianki to a * H, pole podstawy to a^2 * pierwiastek(3) / 4.
  Mamy równanie (wstawiając a = 2)
  24 = 3\cdot 2\cdot H + 2\cdot 2^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}
  wynika z niego, że
  H = \frac{1}{6}(24 - 2\sqrt{3}) = 4 - \frac{\sqrt{3}}{3}\,\approx\,3{,}42
  
  Zad 4. Dążymy do obliczenia krawędzi. Przekątna sześcianu jest równa a * pierwiastek(3), mamy równanie:
  a\sqrt{3} = a + 2\qquad\mbox{zatem}\qquad a = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}
  Można to jeszcze napisać bez pierwiastka w mianowniku:
  a = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \sqrt{3} + 1
  
  Objętość V = a^3
  V = (\sqrt{3} + 1)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2 + 3\sqrt{3} + 1 = 6\sqrt{3} + 10
  
  Pole powierzchni S = 6a^2
  S = 6\cdot(\sqrt{3} + 1)^2 = 6\cdot(3 + 2\sqrt{3} + 1) = 12\sqrt{3} + 24

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie