Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.5.2011 (10:58)

  Używam oznaczeń: m(A) - miara A, A u B suma, A n B iloczyn zbiorów.
  
  Jeśli mamy już udowodnione, że
  m(A u B) = m (A) + m(B) - m(A n B) to dalej jest dość latwo.
  Jeśli nie - patrz na końcu rozwiązania.
  
  m(A u B u C) = m( (A u B) u C ) = m(A u B) + m(C) - m( (A u B) n C)
  = m(A) + m(B) + m(C) - m(A n B) - m( (A n C) u (B n C) )
  = m(A) + m(B) + m(C) - m(A n B) - m(A n C) - m(B n C) + m(A n B n C)
  Przenosimy wyrazy z minusem na lewą stronę i mamy wymaganą równość.
  
  Dowód początkowego twierdzenia, z warunku Caratheodory.
  Mówi on, że miara zbioru A jest sumą miar przecięcia A n B i przecięcia A z dopełnieniem B.
  To drugie przecięcie to różnica A - B (inny zapis: A \ B). Wobec tego:
  m(A) = m(A n B) + m(A - B) (***)
  Zapiszmy sumę A u B w taki sposób: A u B = (A - A n B) u B
  Zbiory A - A n B oraz B są rozłączne więc miara ich sumy jest sumą miar:
  m(A u B) = m(A - A n B) + m(B)
  Na podstawie (***) zachodzi:
  m(A - A n B) = m(A) - m(A n B) więc
  m(A u B) = m(A) + m(B) - m(A n B).
  
  Pozdrowienia - Antek
  Zaznaczam, że mogę się mylić, dawno się tego nie uczyłem.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie