Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 14.5.2011 (09:32)

  Pewnie można rozwiązać to prościej, ale nic mi sensownego nie przychodzi na myśl, zastosuję metodę "brutalnej siły, to znaczy twierdzenie kosinusów. Obliczę długości przekątnych d1, d2, a następnie ponownie zastosuję to twierdzenie do trójkąta, zawierającego kąt gamma i dłuższy bok.
  Z twierdzenia kosinusów, oznaczając a, b boki równoległoboku i alfa - kąt rozwarty, ten z zadania, mamy na kwadraty długości przekątnych wzór:
  d^2_{1,2} = a^2 + b^2 \pm 2ab\cos\alpha
  ("plus-minus" oznacza, że dla jednej przekątnej dodajemy, dla drugiej odejmujemy część 2ab cos alfa).
  
  Z kolei dłuższy bok równoległoboku (nazwijmy go "b") wiąże się z przez tw. kosinusów z połówkami przekątnych i kątem gamma, który obliczamy. Pamiętaj, że kąt ten jest rozwarty, więc jego kosinus jest ujemny.
  b^2 = \frac{1}{4}(d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2\cos\gamma)
  Stąd:
  \cos\gamma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4b^2}{2d_1 d_2}
  
  Dalej podstawiamy a = 1 b = pierwiastek z 2, z równania na d1, d2 obliczamy długości przekątnych pamiętając, że raz trzeba użyć znaku +, raz znaku -, wstawiamy do wzoru na kosinus gamma i jest wynik.
  
  Antek.
  PS: Pociągnąłem obliczenia na wzorach dalej (ale mi się nie chce pisać) i dostałem taką formułkę, nie wiem, czy prawdziwą, przynajmniej dla a = b daje wynik zero, co jest prawdą.
  \cos\gamma = \frac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^4 + b^4 - 2a^2b^2\cos(2\alpha)}}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie