Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  Konto usunięte 5.5.2011 (14:43)

  W(x) = (x-2)(x^{2}-2mx+1-m^{2})
  
  a) m = 1
  
  W(x) = (x-2)(x^{2}-2x) = x(x-2)^{2}
  
  W(x) = 0 dla x = 0 oraz x = 2 (pierwiastek podwójny)
  
  b)
  
  Wielomian jest przedstawiony w postaci pozwalającej odczytać jeden z pierwiastków: 2 (pierwszy nawias).
  Żeby wielomian miał 3 różne pierwiastki, funkcja kwadratowa w drugim nawiasie musi mieć 2 różne pierwiastki (delta większa od zera). Ponadto obydwa pierwiastki muszą być różne od 2.
  
  f(x) = x^{2} - 2mx +(1-m^{2})
  
  \Delta > 0
  x_{1} \neq 2
  x_{2} \neq 2
  
  a = 1
  b = -2m
  c = 1-m^{2}
  
  \Delta = b^{2} - 4ac = 4m^{2}-4(1-m^{2}) = 8m^{2}-4 = 4(2m^{2}-1)
  
  \Delta > 0
  
  4(2m^{2}-1) > 0
  
  2m^{2} - 1 > 0
  
  2m^{2} > 1
  
  m^{2} > \frac{1}{2}
  
  m > \frac{\sqrt{2}}{2}
  oraz
  m < -\frac{\sqrt{2}}{2}
  
  Dla powyższych m są dwa różne pierwiastki funkcji w drugim nawiasie. Jeszcze muszą być obydwa różne od 2.
  
  x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
  
  x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  
  \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{2m^{2}-1}
  
  x_{1} = m-\sqrt{2m^{2}-1}
  
  x_{2} = m+\sqrt{2m^{2}-1}
  
  Obliczę dla jakich m każdy z pierwiastków jest równy 2. Te wartości m nie mogą znaleźć się w rozwiązaniu.
  
  x_{1} = 2 = m-\sqrt{2m^{2}-1}
  oraz
  x_{2} = 2 = m+\sqrt{2m^{2}-1}
  
  2 - m = -\sqrt{2m^{2}-1}
  oraz
  2 - m = \sqrt{2m^{2}-1}
  
  Do obliczenia m należy podnieść równania do kwadratu. Po podniesieniu będą miały identyczną postać.
  
  4 - 4m + m^{2} = 2m^{2}-1
  
  m^{2} + 4m - 5 = 0
  
  \Delta_{m} = 16+20 = 36
  
  \sqrt{\Delta} = 6
  
  m_{1} = \frac{-4-6}{2} = -5
  
  m_{2} = \frac{-4+6}{2} = 1
  
  Odp.: Wielomian ma 3 różne rozwiązania dla m:
  
  m \in (-\infty,-5)\cup (-5, -\frac{\sqrt{2}}{2})\cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)\cup (1, +\infty)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie