Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  antekL1 26.3.2011 (13:37)

  Pokombinujemy ze wzorami Viete'a. Oznaczam a, b, c współczynniki w równaniu kwadratowym
  jak zwykle. W tym wypadku a = 1, b = - (m-4), c = 2m.
  Suma dodatnich pierwiastków ma być dodatnia, czyli -b/a > 0, stąd -(-(m-4)) > 0, czyli m - 4 > 0.
  Ale ten warunek nie wystarcza, gdyż dodatność sumy nie gwarantuje dodatności
  obu pierwiastków, (może być mały ujemny i duży dodatni).
  Ale wtedy ich iloczyn byłby ujemny. Dodatniość obu
  pierwiastków gwarantuje w dakiej sytuacji dopiero dodatność ich iloczynu. Wobec tego
  c/a > 0, stąd 2m/2 > 0, czyli m > 0. Z poprzedniego warunku mamy m > 4, co jest silniejszą
  nierównością.
  
  Dotąd z analizy wyszło, że ma być m > 4. Teraz korzystamy z faktu, że większy pierwiastek
  (oznaczmy go x2) jest 2 razy większy od x1. Czyli x2 = 2 * x1.
  Ponownie wracamy do wzorów Viete'a. Suma x1 + x2 = 3 * x1,
  stąd wniosek, że (m - 4) / 1 = 3 * x1. (pierwsze równanie)
  Z iloczynu mamy 2m / 1 = 2 * x1^2. (drugie równanie)
  
  Pierwsze z tych równań dzielę przez 3 i podnoszę do kwadratu: (m-4)^2 / 9 = x^2.
  Wstawiam kwadrat x1 do drugiego równania: (m-4)^2 / 9 = m.
  
  Mnożę przez 9 i rozwijam kwadrat: m^2 - 8m + 16 = 9m.
  Mam r-nie kwadratowe na m: m^2 -17m + 16 = 0. Po rozwiązaniu dostaję:
  m1 = 1, m2 = 16
  m1 < 4 więc odrzucam to rozwiązanie ze względu na wnoski z dodatności pierwiastków.
  
  Zostaje m = m2 = 16 jako jedyne możliwe m spełniające warunki zadania.
  
  Mogę to sprawdzić, podstawiając m2 do początkowego równania. Mamy:
  x^2 - (16 - 4) x + 2 * 16 = x^2 - 12 x + 32 = 0. Rozwiązanie daje: x1 = 4, x2 = 8, faktycznie,
  oba dodatnie pierwiastki i drugi dwukrotnie większy od pierwszego.
  
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie