Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  Kaczorro 27.4.2010 (22:32)

  Pierwsza prędkość kosmiczna jest przypisana do konkretnego ciała niebieskiego, ale jest też zalezna od odległości od niego. v_{I} to prędkość, z jaką powinno poruszać się ciało na orbicie kołowej o promieniu r, wokół danej planety, aby pozostało na tej orbicie, czyli nie spadło na powierzchnię planety.
  
  Mamy ciało o masie m, promień rozpatrywanej planety to R, a jej masa to M. Ponieważ ciało znajduje się na orbicie kołowej, działa na niego siła dośrodkowa F_d:
  
  F_d = \frac{mv_{I}^2}{r}
  
  Siła ta, to nic innego jak siła grawitacji:
  
  F_d = \frac{GMm}{r^2}
  
  \frac{mv_{I}^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}
  
  v_{I} = \sqrt{\frac{GM}{r}}
  
  Czyli ciało, znajdujące się na orbicie kołowej o promieniu r wokół danego ciała niebieskiego, porusza się z szybkością v_{I} = \sqrt{\frac{GM}{r}}, gdyby była ona mniejsza, Ciało mogłoby obniżyć swój lot, a nawet spaść na planetę. Gdyby była większa, Ciało mogłoby oddalić się jeszcze bardziej, albo odlecieć w nieznane.
  
  Dla Ziemi, wartość pierwszej prędkości kosmicznej, możemy policzyć w następujący sposób:
  R_z \approx 6371km,\ M_z \approx 5,97 \cdot 10^{24} kg,\ G \approx = 6,67 \cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg\ s^2}
  
  v_{I,z} = \sqrt{\frac{GM_z}{R_z}}
  
  v_{I,z} \approx \sqrt{\frac{6,67\cdot10^{-11}\frac{m^3}{kg\ s^2}\cdot 5,97 \cdot 10^{24} kg}{6371km}} \approx 7,9 \frac{km}{s}
  
  
  Druga prędkość kosmiczna, oznaczana v_{II}, to prędkość początkowa, jaką trzeba nadać ciału, startującemu pionowo w górę z powierzchni planety, aby poleciało w kosmos i nigdy nie wróciło. Jest ona przypisana do konkretnej planety i może być bardzo różna. Szkolny sposób wyprowadzenia wzoru na wartość takiej prędkości, prezentuje się następująco:
  
  Na tym etapie, powinno Ci być wiadome, że energia potencjalna w centralnym polu grawitacyjnym, czyli właśnie takim, jak pole skojarzone z planetą, wyraża się w tym przypadku:
  
  E_p = -\frac{GMm}{r}
  
  gdzie G to stała grawitacyjna, a r to odległość ciała, które posiada tę energię, od centrum pola, czyli środka planety. Energia ta jest ujemna, a wynika to z przyjętej konwencji, że jest ona równa 0, kiedy obiekt znajduje się w nieskończonej odległości od planety, a przecież ma ona rosnąć w miarę oddalania.
  
  Kiedy rzucony w górę obiekt, zatrzyma się, czyli doleci do krańców swoich możliwości, to jego całkowita energia, inaczej energia mechaniczna, równa jest samej tylko energii potencjalnej. Chcemy więc rzucić ciało tak, żeby "zatrzymało" się w nieskończoności, czyli w praktyce nie zatrzymało się w ogóle. Zasada zachowania energii mówi, że energia mechaniczna w polu zachowawczym, jakim z całą pewnością jest pole grawitacyjne, jest niezmienna. W wypadku naszego zabiegu, znamy tę wartość. E_m = 0, ponieważ jeśli ciało ma się zatrzymać w nieskończoności, to energia mechaniczna równa się energii potencjalnej, jaką będzi miało w tamtym miejscu. Ale ta całkowita energia musi być tez zachowana przy powierzchni planety, czyli w miejscu, z którego rzucamy:
  
  E_k + E_p = E_m = 0
  
  \frac{mv_{II}^2}{2} - \frac{GMm}{R} = 0
  
  v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}
  
  Wyprowadziliśmy zatem wzór na drugą prędkość kosmiczną, dla dowolnej planety. Zauważmy, że rzeczywiście zależy ona tylko od parametrów planety, a nie od rzucanego ciała.
  
  Zauważmy dodatkowo, że przy powierzchni planety, czyli gdy r = R, zachodzi:
  
  v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}
  
  v_{II} = \sqrt{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}
  
  v_{II} = \sqrt{2}v_I
  
  Miły to zbieg okoliczności. Należy pamiętać, że ten związek zachodzi tylko przy powierzchni planety. Korzystajac z niego, policzmy drugą prędkość kosmiczną przy powierzchni Ziemi:
  
  v_{II,z} = \sqrt{2}v_{I,z}
  v_{II,z} \approx \sqrt{2} \cdot 7,9\frac{km}{s} \approx 11,2 \frac{km}{s}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie