Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  Kaczorro 27.4.2010 (18:48)

  Wszelkie oznaczenia znajdują się w załączniku. Zgodnie z danymi polecenia, możemy zapisać:
  a = 2cm,\ b = 4cm,\ \alpha = 60^\circ,\ \beta = 30^\circ. Oczywiście h, s, t > 0.
  
  Z definicji kotangensa, mamy w trójkącie \Delta ABD:
  
  \frac{h}{a} = \cot\beta
  
  h = a\cot\beta
  
  h = 2cm \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}cm
  
  Pole podstawy P_p, która jest równoległobokiem, możemy z kolei wyrazić w następujący sposób:
  
  P_p = ab\sin\alpha
  
  Teraz objętość V:
  
  V = P_p h
  
  V = ab\sin\alpha \cdot h
  
  V = 2cm \cdot 4cm \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3}cm = 24cm^3
  
  Aby znaleźć długosć dłuższej przekątnej s graniastosłupa, zajmijmy się najpierw dłuższą przekątną t podstawy.
  
  Najpierw zauważmy, że \angle CBA = 180^\circ - \alpha.
  
  Z twierdzenia kosinusów dla \Delta ABC:
  
  t^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle CBA
  
  t^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\left(180^\circ - \alpha\right)
  
  t^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha
  
  t^2 = \left(2cm\right)^2 + \left(4cm\right)^2 + 2 \cdot 2cm \cdot 4cm \cdot \frac{1}{2} = 12cm^2
  
  Trójkąt \Delta ACE jest prostokątny, zatem możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa:
  
  s^2 = t^2 + h^2, a ponieważ s > 0:
  
  s = \sqrt{t^2 + h^2}
  
  s = \sqrt{12cm^2 + \left(2\sqrt{3}\right)^2} = 2\sqrt{6}cm
  
  Podsumowując:
  a) V = 24cm^3
  b) s = 2\sqrt{6}cm

  Załączniki

  • obrazek_3.png (19 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie