Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  Konto usunięte 13.11.2010 (06:04)

  1) Gdzie jest znak równości w tym równaniu?
  Może miało być tak:
  
  \frac{12}{1-9x^{2}}- \frac{1-3x}{1+3x}+ \frac{1+3x}{3x-1}=0 ?
  
  Rozwiążę to. Jeśli to nie takie równanie, to wrzuć, proszę, właściwe.
  
  \frac{12}{1-9x^{2}}- \frac{1-3x}{1+3x}-\frac{1+3x}{1-3x}=0\ |\cdot (1+3x)(1-3x)
  
  Mianowniki muszą być różne od zera.
  1-9x^{2}=(1-3x)(1+3x)
  
  1-3x \neq 0\ \ \ \ i \ \ \ \ 1+3x \neq 0
  
  x \neq \frac{1}{3}\ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ x\neq -\frac{1}{3}
  
  x \in R-\left\{-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right\}
  
  12-(1-3x)^{2}-(1+3x)^{2}=0
  
  12-1+6x-9x^{2}-1-6x-9x^{2}=0
  
  -18x^{2}+10=0
  
  x^{2}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}
  
  x=\frac{\sqrt{5}}{3}\ \ \ \ lub\ \ \ \ x=-\frac{\sqrt{5}}{3}
  Oba spełniają warunek x \in R-\left\{-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right\}
  
  
  2) a_{n}=\frac{3n+2}{5n+3}
  
  Jeśli wyraz następny a_{n+1} jest większy od a_{n}, to ciąg jest rosnący. Jeśli mniejszy, to ciąg jest malejący. Jeśli taki sam, to ciąg jest stały. Wystarczy zbadać znak różnicy a_{n+1}-a_{n} i będzie wiadomo, czy od większego odjęliśmy mniejszy, czy odwrotnie.
  
  a_{n+1}=\frac{3(n+1)+2}{5(n+1)+3}=\frac{3n+5}{5n+8}
  
  a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+5}{5n+8}-\frac{3n+2}{5n+3}=\frac{(3n+5)(5n+3)-(3n+2)(5n+8)}{(5n+8)(5n+3)}=
  
  Mianownika nie ruszam, bo jest dodatni, gdy n jest liczbą naturalną.
  
  =\frac{15n^{2}+9n+25n+15-15n^{2}-24n-10n-16}{(5n+8)(5n+3)}=\frac{-1}{(5n+8)(5n+3)}<0
  
  Ciąg jest malejący.
  
  3) 4% -- roczna stopa procentowa
  kapitalizacja odsetek -- roczna
  Po ilu latach wypłacona suma przekroczy 120% wpłaconej kwoty?
  
  c -- wpłacona kwota
  a_{1}=c+0,04c=c\cdot (1+0,04)=c\cdot 1,04 -- po 1 roku
  
  a_{2}=a_{1}+0,04\cdot a_{1}=a_{1}(1+0,04)=a_{1}\cdot1,04=
  =c\cdot 1,04\cdot 1,04=c\cdot(1,04)^{2} -- po 2 latach
  
  a_{3}=a_{2}+0,04\cdot a_{2}=a_{2}(1+0,04)=a_{2}\cdot1,04=
  =c\cdot(1,04)^{2}\cdot1,04=c\cdot(1,04)^{3} -- po 3 latach
  
  ...
  
  a_{n}=c\cdot(1,04)^{n} -- po n latach
  
  1,2c --120% wpłaconej kwoty
  
  Pytanie brzmi: Jaka jest najmniejsza liczba n\in N, która spełnia warunek
  
  c\cdot(1,04)^{n}>1,2\cdot c\ |:c
  
  (1,04)^{n}>1,2
  
  I chyba trzeba to policzyć na piechotę, bo nie sądzę, żeby za pomocą logarytmów.
  (1,04)^{1}=1,04
  (1,04)^{2}=1,0816
  (1,04)^{3}\approx1,1249
  (1,04)^{4}\approx1,1699
  (1,04)^{5}\approx1,2167
  
  Odp. Po 5 latach wypłacona suma przekroczy 120% wpłaconej kwoty.
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie