Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 19.3.2021 (14:14)

  Zadania z zestawu "2af7e....png
  Znaczek ^ to "do potęgi", np. 2^3 = 8
  (n nad k) to symbol Newtona, (n nad k) = n! / [ k! * (n-k)! ]
  ==============================================
  
  Zad. 1A,
  Jest to schemat Bernoulliego z szansą sukcesu p = 1/2 i porażki q = 1/2.
  Wobec tego:
  
  X(k) = (4 nad k) * (1/2)^k * (1/2)^(4-k) ; upraszczamy:
  X(k) = (4 nad k) / 16 ; można się jeszcze podawić:
  X(k) = 4! / [ k! * (4-k)! * 16 ]
  X(k) = (3/2) / [ k! * (4-k)! ]
  
  Daje to:
  X(0) = 1/16; X(1) = 4/16; X(2) = 6/16; X(3) = 4/16; X(4) = 1/16
  
  Średnia w rozkładzie Bernoulliego wynosi n * p, tutaj: 4 * 1/2 = 2
  Wariancja w tym rozkładzie: n * p * q = 4 * 1/2 * 1/2 = 1
  
  Średnią można też sprawdzić licząc sumę po k iloczynów k * X(k)
  1/16 * 0 + 4/16 * 1 + 6/16 * 2 + 4/16 * 3 + 1/16 * 4 = ?? (tak, = 2)
  Wariancję można sprawdzić podobnie, ale za dużo pisania, licz, jak chcesz :)
  =====================================
  
  Zad. 1B,
  Gra jest "sprawiedliwa" (mówi się "o sumie zerowej") jeśli oczekiwana wygrana każdego z graczy jest równa ZERO po dużej ilości rozegranych gier. Liczymy więc oczekiwaną wartość zmiennej losowej X(k), gdzie:
  k - ilość szóstek, 0, 1 lub 2
  
  Z rachunku prawdop. wynika, że szansa na 2 szóstki w 2 rzutach to 1/6^2 = 1/36
  Szansa na jedną szóstkę (schemat Bernoulliego, patrz zadanie 1)
  (2 nad 1) * (1/6)^1 * (5/6)^1 = 10/36
  Szansa na 0 szóstek: 1 - 1/36 - 10/36 = 25/36
  
  Gracz A zawsze przegrywa 18+a, wygrywa 0, 4a lub 8a w zależności od k.
  Czyli wygrana X(k) gracza A wynosi:
  Dla k = 2: X(2) = -(18 + a) + 8a = -18 + 7a; szansa: p(2) = 1/36
  Dla k = 1: X(1) = -(18 + a) + 4a = -18 + 3a; szansa: p(1) = 10/36
  Dla k = 0: X(0) = -(18 + a) + 0 = -18 - a; szansa: p(0) = 25/36
  
  Obliczamy oczekiwaną wygraną E(X) dla gracza A sumując iloczyny p(k) * X(k)
  E(X) = (1/36) * (-18 + 7a) + (10/36) * (-18 + 3a) + (25/36) * (-18 - a)
  E(X) = (a - 54) / 3
  
  Porównujemy E(X) do zera, wychodzi: a = 54 zł
  =====================================
  
  Zad. 1C.
  Zmienna X ma tylko 3 wartości więc szanse na dowolną z nich sumują się do 1.
  p1 + p2 + p3 = 1 ; stąd:
  0.2 + 0.4 + p3 = 1; dostajemy p3 = 0.4
  
  Wartość oczekiwana E(X) to suma (patrz zadanie 2)
  E(X) = 0.2 * 7 + 0.4 * 5 + 0.4 * x3 = 5 ; rozwiązujemy to równanie dla x3
  x3 = 4
  =====================================
  
  Zad. 1D.
  To zadanie jest raczej z geometrii a nie ze statystyki :)
  Ponieważ losujemy 3 wierzchołki z 4 to oznacza, że losujemy po prostu ściankę ostrosłupa. Każda ze ścianek ma taką samą szansę być wylosowana i ta szansa wynosi 1/4.
  Wynika z tego, że oczekina wartość pola to całe pole ostrosłupa dzielone przez 4.
  
  Dalej to tylko geometria. Oznaczmy punkty:
  A(-1,-1,1); B(5,-1,1); C(-1,7,1); D(2,3,5)
  Odejmując współrzędne punktów obliczamy wektory tworzące boki ostrosłupa
  AB = B - A = [6,0,0] <------ to są wektory !
  AC = C - A = [0,8,0]
  AD = D - A = [3,4,4]
  BC = C - B = [-6,8,0]
  BD = D - B = [-3,4,4]
  CD = D - C = [3,-4,4]
  
  Pola poszczególnych ścianek liczmy z iloczynu wektorowego, przykład:
  Pole ścianki ABC to iloczyn wektorowy AB i AC dzielony przez 2:
  P(ABC) = | AB x AC | / 2 = 24 ; gdzie x to iloczyn wektorowy, mam nadzieję, że umiesz go liczyć, w końcu zadanie jest na poziomie "studia" :)
  P(ABD) = | [0,-24,24] | / 2 = 12 * pierwiastek(2)
  P(ACD) = 40
  P(BCD) = 40
  Te 4 pola trzeba zsumowć i podzielić wynik przez 4, masz wynik E(X). Jest duża szansa, że pomyliłem się tu w obliczeniach ale metoda jest poprawna :)
  =====================================
  Proszę, zamieść drugi zastaw zadań oddzielnie bo ten tekst jest już za długi...
  W razie pytań albo jak sie pomyliłem pisz proszę na priv.

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj